זהויות מופן

באלגברה וגאומטריה פרויקטיבית, זהויות מופן הן זהויות שיכול לקיים חוג לא אסוציאטיבי: הזהות השמאלית $(x(zx))y=x(z(xy))$, והזהות הימנית $y((xz)x)=((yx)z)x$. זהויות אלו מופיעות באופן טבעי כשחוקרים את הפרמטריזציה של מישור פרויקטיבי, והן קרובות לזהויות שמקיימת אלגברה אלטרנטיבית. גם לזהות המרכזית $(xy)(zx)=(x(yz))x$ יש תפקיד מסוים. הזהויות קרויות על שם רות מופן (Moufang) .

את הזהות הימנית והשמאלית אפשר לנסח כטענות על אופרטורי הכפל מימין ומשמאל, כזהויות ${r}_x{r}_z{r}_x=r_{(xz)x}$ ו-${\ell }_x{\ell }_z{\ell }_x={\ell }_{x(zx)}$, בהתאמה. ניסוח זה חושף קשר לאלגברות ז'ורדן, שבהן משחק האופרטור ${Q}_x(y)=xyx$ תפקיד חשוב.

שלוש זהויות מופן מתקיימות בכל אלגברה אלטרנטיבית. מאידך, אלגברה עם יחידה המקיימת את הזהות הימנית והשמאלית היא אלטרנטיבית; ואלגברה עם חילוק המקיימת את זהות מופן הימנית או השמאלית היא אלטרנטיבית.

באלגברה עם יחידה המקיימת את זהות מופן הימנית או השמאלית מתקיימת הזהות $(a,b,a{)}^4=0$, כאשר $(a,b,c)$ הוא האסוציאטור.

מקורות

• The Role of Nonassociative Algebra in Projective Geometry, John R Faulkner, 2014.