התכנסות חלשה (מרחב הילברט)

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

התכנסות חלשה של סדרה במרחב הילברט היא ההתכנסות המושרת מהטופולגיה החלשה עליו.

הגדרה

סדרת נקודות $(x_n)$ במרחב הילברט H מתכנסת חלש ל־$x\in H$ אם לכל $y\in H$, $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }⟨x_n,y⟩=⟨x,y⟩$. זוהי ההתכנסות בטופולוגיה החלשה. לעיתים התכנסות זו נרשמת באופן הבא:$x_n\rightharpoonup x$.

תכונות

• אם סדרת נקודות $(x_n)$ מתכנסת ל־x אז היא מתכנסת אליו חלש לפי אי שוויון קושי שוורץ: $⟨x_n,y⟩-⟨x,y⟩=⟨x_n-x,y⟩\le \Vert x_n-x\Vert \Vert y\Vert \to 0$.
• כמו כן מאי שוויון קושי שוורץ נובע שהנורמה היא רציפה למחצה מלמטה: אם $(x_n)$מתכנסת חלש ל־x אז $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }⟨x_n,x⟩=\Vert x{\Vert }^2$ ומקושי שוורץ נקבל ש־$\Vert x{\Vert }^2=li{m}_{n\to \mathrm{\infty }}⟨x,x_n⟩\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\Vert x_n\Vert \Vert x\Vert$.
• מצד שני אם סדרת נקודות $(x_n)$ מתכנסת חלש ל x וכן $li{m}_{n\to \mathrm{\infty }}\Vert x_n\Vert =\Vert x\Vert$ אז $(x_n)$מתכנסת ל x: $\Vert x-x_n{\Vert }^2=⟨x-x_n,x-x_n⟩=⟨x,x⟩+⟨x,x⟩-⟨x_n,x⟩-⟨x,x_n⟩\to 0$.
• ממשפט בנך שטיינהוס, נובע שכל סדרה מתכנסת חלש היא חסומה. מצד שני לכל סדרה חסומה יש תת-סדרה מתכנסת חלש.

משפט בנך-סאקס

משפט בנך–סאקס מספק קשר נוסף בין התכנסות להתכנסות חלשה:

תהי $(x_n)$ סדרה המתכנסת חלש ל־x אזי יש ל־x תת-סדרה המתכנסת בממוצע ל־x: $\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{N}\sum _{k=1}^N{x}_{n_k}=x$.

הוכחה: בה"כ x=0. כמו כן $(x_n)$מתכנסת חלש ולכן חסומה על ידי M. נגדיר את הסדרה $(n_k)$ באופן הבא הבא: $n_1=1$ וכן בהינתן $n_j$ לכל j<k מתקיים מההתכנסות החלשה ש־$⟨x_n,x_{n_j}⟩\to 0$ לכל j<k ולכן יש m כך ש־$|⟨x_m,x_{n_j}⟩|<\frac{1}{k}$ לכל j<k. נבחר את $n_k$ להיות ה־m הראשון המקיים זאת. מתקיים: $\Vert \frac{1}{N}\sum _{k=1}^N{x}_{n_k}{\Vert }^2=\frac{1}{N^2}(\sum _{k=1}^N\Vert x_{n_k}{\Vert }^2+2\mathrm{\Re }(\sum _{1\le i<j\le N}⟨x_{n_i},x_{n_j}⟩))\le \frac{N{M}^2+2\sum _{k=1}^{N-1}\frac{k}{k+1}}{N^2}\le \frac{M^2+2}{N}\to 0$ ונקבל את הדרוש.

הערה: למעשה המשפט נכון לכל מרחב בנך קמור במידה שווה (למשל מרחב ${\mathbb{𝕃}}^p$כאשר $1<p<\mathrm{\infty }$).

דוגמאות

• תהי $e_n$ מערכת אורתונורמלית. כיוון ש־$\Vert e_n\Vert =1$, ברור ש־$e_n$ איננה שואפת לאפס. עם זאת, נראה שהיא שואפת חלש לאפס. אכן יהי $x\in H$. מאי שוויון בסל נקבל $\sum _n|⟨e_n,x⟩{|}^2\le \Vert x{\Vert }^2$ ובפרט הטור מתכנס ולכן אבריו שואפים לאפס. לכן $|⟨e_n,x⟩|\to 0$ ולכן $e_n$ שואפת חלש לאפס.

לקריאה נוספת

• וויס בנימין, ליינדרשטראוס יורם, פזי אמנון, אנליזה פונקציונלית, האוניברסיטה העברית 1980.

קישורים חיצוניים

• .html התכנסות חלשה, באתר MathWorld (באנגלית)