הלמה של קנסטר-קורטובסקי-מזורקביץ'

הלמה של קנסטר-קורטובסקי-מזורקביץ היא משפט בסיסי בטופולוגיה של סימפלקסים, המאפשר להסיק, בתנאים מסוימים, שלכמה קבוצות סגורות יש נקודה משותפת. את הלמה אפשר להוכיח מן הלמה של שפרנר, והיא מספקת הוכחה פשוטה יחסית למשפט נקודת השבת של בראואר.

הטענה

יהי $\mathrm{\Delta }=⟨p_0,p_1,\dots ,p_n⟩$ סימפלקס n-ממדי. תהיינה ${F}_0,\dots ,F_n$ קבוצות סגורות, כך שכל פאה $⟨e_{i_1},\dots ,e_{i_k}⟩$ מכוסה על ידי איחוד הקבוצות ${F}_{i_1}\cup \cdots \cup F_{i_k}$ (ובפרט הסיפלקס כולו מכוסה על ידי איחוד כל הקבוצות). אז לקבוצות ${F}_0,\dots ,F_n$ יש נקודה משותפת.

לדוגמה, בממד n=1 הטענה היא שאם שתי קבוצות סגורות מכסות (יחד) קטע, באופן שכל אחת מהן מכסה אחד מקצותיו, אז יש להן נקודה משותפת; טענה זו שקולה לכך שהקטע הוא קבוצה קשירה. בממד n=2, הטענה היא שאם שלוש קבוצות סגורות מכסות משולש באופן שכל אחת מהן מכסה את הקודקוד המתאים לה וכל שתיים מהן מכסות (יחד) את הצלע המתאימה להן, אז יש להן נקודה משותפת, וכן הלאה.

הוכחה

נניח בשלילה שתנאי הלמה מתקיימים וחיתוך הקבוצות ריק. נתבונן במשלימים ${G}_i=\mathrm{\Delta }-F_i$. מן ההנחות נובע ש- $\{G_i{\}}_{i=0}^n$ היא כיסוי פתוח של הסימפלקס, שהוא קבוצה קומפקטית. לכן יש לו מספר לבג $ϵ>0$ (ע"ש). נסתכל בחלוקה סימפליציאלית של $\mathrm{\Delta }$, שקוטרו של כל סימפלקס בה קטן מ-$ϵ$. על החלוקה הזו נגדיר פונקציית קודקודים $m$, באופן הבא: אם $x\in ⟨p_{i_0},...,p_{i_k}⟩$ קודקוד בחלוקה, אז על-פי תנאי הכיסוי יש $j\in \{i_1,\dots ,i_k\}$ כך ש- $x\in F_j$, ואז נגדיר $m(x)=j$; בפרט $x\in F_{m(x)}$ לכל קודקוד $x$ של החלוקה. פונקציה זו מקיימת את תנאי הלמה של שפרנר, ולכן קיים בחלוקה הסימפליציאלית סימפלקס $⟨x_0,...,x_n⟩$, כך שלכל אינדקס $i$ מתקיים $x_i\in F_i$. לפי בחירת $ϵ$, קיים $G_{i_0}$ כך ש $⟨x_0,...,x_n⟩\subset G_{i_0}$, אבל אז $⟨x_0,...,x_n⟩\cap F_{i_0}=\mathrm{\varnothing }$, וזו סתירה למסקנה ש-$x_{i_0}\in F_{i_0}$.

ראו גם

• הלמה של שפרנר
• משפט נקודת השבת של בראואר