גשר בראוני

גשר בראוני הוא תהליך וינר $W(t)$ על קטע $[0,1]$ בהינתן $W(1)=0$.

גשר בראוני הוא תהליך סטוכסטי רציף $B(t)$ על קטע $[0,1]$ כך שלכל לכל $t$ בקטע יש לו התפלגות של תהליך וינר סטנדרטי $W(t)$ המותנית בכך ש- $W(1)=0$. כתוצאה מכך $B(1)=0$ ומתקיים גם ש-$B(0)=0$ כמעט בוודאות.

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

נסמן באופן שקול:

$B(t):=(W(t)\mid W(1)=0),t\in [0,1]$

התוחלת של הגשר בכל $t$ במרווח $[0,1]$ היא אפס והשונות היא $t(1-t)$. לכן, השונות הכי גדולה היא באמצע הקטע ושווה לאפס בקצוות. השונות המשותפת של $B(s)$ ו- $B(t)$ היא $\min (s,t)-st$. בניגוד לתהליך וינר, התהליך אינו קבוע בזמן ותוספות זרות בגשר בראוני אינן בלתי תלויות.

גשר בראוני הוא תוצאה של משפט דונסקר בתחום התהליכים האמפיריים . הוא משמש גם במבחן קולמוגורוב-סמירנוב בתחום ההסקה הסטטיסטית.

ייצוגים נוספים של גשר בראוני

אם $W(t)$ הוא תהליך וינר סטנדרטי אז התהליך:

$B(t)=W(t)-tW(1)$

הוא גשר בראוני ומתקיימת אי-תלות בין $B(t)$ ו- $W(t)$.

באופן שקול, אם $B(t)$ הוא גשר בראוני ו- $Z$ הוא משתנה מקרי נורמלי סטנדרטי בלתי תלוי ב- $B$, אז התהליך

$W(t)=B(t)+tZ$

הוא תהליך וינר.

ניתן לייצג גשר בראוני כטור פורייה עם מקדמים סטוכסטיים:

$B(t)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{Z}_k\frac{\sqrt{2}\sin (k\pi t)}{k\pi }$

כאשר $Z_1,Z_2,\dots$ הם משתנים מקריים נורמליים סטנדרטיים בלתי תלויים ושווי התפלגות (ראו משפט קוסמבי-קרהונן-לואב ).

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא גשר בראוני בוויקישיתוף