אי-שוויון פלי-זיגמונד

במתמטיקה, אי-שוויון פלי-זיגמונד מספק חסם על ההסתברות שמשתנה מקרי אי-שלילי הוא קטן ביחס לתוחלת ולשונות שלו. הוכחה ראשונה לאי-השוויון הזה ניתנה על ידי אנתוני זיגמונד וריימונד פלי ב-1932.

משפט: יהי Z ≥ 0 משתנה מקרי בעל שונות סופית, ויהי $0 < θ < 1$ קבוע. אז $\Pr {Z \geq θ E (Z)} \geq (1 - θ)^{2} \frac{(E (Z))^{2}}{E (Z^{2})}$ .

הוכחה. פירוק לפי משתנים מציינים נותן $E Z = E {Z 1_{Z < θ E Z}} + E {Z 1_{Z \geq θ E Z}}$ . המחובר הראשון אינו עולה על $θ E (Z)$ . השני הוא לכל היותר ${E Z^{2}}^{1 / 2} {E 1_{Z \geq θ E Z}}^{1 / 2} = (E Z^{2})^{1 / 2} (\Pr {Z \geq θ E (Z)})^{1 / 2}$ לפי אי-שוויון קושי-שוורץ.

אי-שוויונות קרובים

הגרסה החד-צדדית של אי-שוויון צ'בישב נותנת חסם טוב יותר: $\Pr {Z \geq θ E (Z)} \geq \frac{(1 - θ)^{2} (E (Z))^{2}}{(1 - θ)^{2} (E (Z))^{2} + Var Z}$ . זהו חסם הדוק, המתקבל למשל כאשר $ϵ \to 0$ במשתנה המקרי המקבל את הערך $θ + d$ בסיכוי $(1 - θ) / d$ ואת הערך $θ - ϵ$ בסיכוי המשלים.

מקורות

R.E.A.C.Paley and A.Zygmund, A note on analytic functions in the unit circle, Proc. Camb. Phil. Soc. 28, 1932, 266–272
Y Katznelson, Harmonic Analysis, Third Edition, 2002, 280.

אי-שוויון פלי-זיגמונד

אי-שוויונות קרובים

מקורות

תפריט ניווט

חיפוש