אי-שוויון צ'בישב

בתורת ההסתברות, אי-שוויון צֶ'בּישב (גם: צ'בישוֹב) הוא אי-שוויון המאפשר להעריך את ההתפלגות של משתנים מקריים על ידי התוחלת שלהם. האי-שוויון קרוי על שמו של ממציאו, המתמטיקאי הרוסי פפנוטי צ'בישב.

אי-שוויון צ'בישב קובע כי אם השונות והתוחלת של משתנה מקרי $X$ קיימות, אז לכל $C>0$ מתקיים:

$\mathrm{P}(|X-\mathrm{E}(X)|\ge C)\le \frac{\mathrm{Var}(X)}{C^2}$

אי-שוויון צ'בישב מאפשר להעריך את ההסתברות לכך שמשתנה מקרי כלשהו יסטה במידה זו או אחרת מהתוחלת שלו, באופן מדויק יותר מאי-שוויון מרקוב, ונותן משמעות נוספת למושג השונות. בפרט נובע ממנו שכאשר השונות קטנה, ההסתברות לסטיות גדולות מהתוחלת קטנה גם היא. בעזרת אי-שוויון צ'בישב אפשר להוכיח את החוק החלש של המספרים הגדולים למקרה הפרטי שבו לסדרת המשתנים המקריים יש שונות סופית. אי-שוויון צ'רנוף נותן גרסה חזקה יותר עבור משתני ברנולי.

בגרסה כללית יותר, אי-שוויון צ'בישב קובע כי $\mathrm{P}(|X|\ge C)\le \frac{\mathrm{E}(X^2)}{C^2}$. אי-שוויון קאנטלי הוא גרסה חד צדדית של אי-שוויון צ'בישב.

הוכחת אי-שוויון צ'בישב

על פי הגדרת התוחלת:

$\mathrm{E}(f^2)=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }{f}^2(\omega )dP(\omega )$.

עבור אינטגרציה רק על קבוצת הנקודות במרחב ההסתברות עבורן $|f(\omega )|\ge C$ יתקבל גודל הקטן יותר או שווה לזה שהתחלנו ממנו:

$\mathrm{E}(f^2)=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }{f}^2(\omega )dP(\omega )\ge \underset{\{\omega :|f(\omega )|\ge C\}}{\int }{f}^2(\omega )dP(\omega )\ge \underset{\{\omega :|f(\omega )|\ge C\}}{\int }{C}^{2}dP(\omega )=C^2\mathrm{P}(|f|\ge C)$

חלוקת שני האגפים ב־$C^2$ מביאה לצורה הכללית של אי-שוויון צ'בישב:

$\mathrm{P}(|f|\ge C)\le \frac{\mathrm{E}(f^2)}{C^2}$

ניתן גם להוכיח את אי-שוויון צ'בישב ישירות מאי-שוויון מרקוב.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא אי-שוויון צ'בישב בוויקישיתוף   

• אי-שוויון צ'בישב, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)
• .html אי-שוויון צ'בישב, באתר MathWorld (באנגלית)