משפט לוסטרניק-שנירלמן

בטופולוגיה, משפט לוסטרניק-שנירלמן הוא משפט הקובע ששתי הטענות הבאות נכונות:

• בכל כיסוי של ספירה n-ממדית באמצעות n+1 קבוצות סגורות יש קבוצה שמכילה זוג נקודות אנטיפודיות.
• בכל כיסוי של ספירה n-ממדית באמצעות n+1 קבוצות פתוחות יש קבוצה שמכילה זוג נקודות אנטיפודיות.

המשפט שוער לראשונה במאמר של לזר לוסטרניק ולב שנירלמן מ-1930. המשפט שקול למשפט בורסוק-אולם שהוכח ב-1933.

למעשה נכון משפט כללי יותר שמכליל את שתי הגרסאות המקוריות של המשפט:

• בכל כיסוי של ספירה n-ממדית באמצעות n+1 קבוצות, שכל אחת מהן פתוחה או סגורה, יש קבוצה שמכילה זוג נקודות אנטיפודיות.

הוכחה

מספיק להוכיח את המשפט ל-$S^n$ שהיא ספירת היחידה ה-n-ממדית (אוסף כל הנקודות ב-${\mathbb{ℝ}}^{n+1}$ שמרחקן מהראשית הוא 1).

נוכיח כי המשפט שקול למשפט בורסוק-אולם הקובע שלכל פונקציה רציפה $f:S^n\to {\mathbb{ℝ}}^n$ קיימת נקודה $x\in S^n$ כך ש-$f(x)=f(-x)$.

המקרה הסגור מתוך בורסוק-אולם

במרחב מטרי, המרחק בין נקודה x לקבוצה A, $d(x,A)$, מוגדר כאינפימום של אוסף המרחקים בין x לכל אחת מנקודות A. לפי הגדרת הסגור, אם $d(x,A)=0$ אז $x\in \overline{A}$.

יהי $F_1,\dots ,F_{n+1}$ אוסף של n+1 קבוצות סגורות המכסות את $S^n$. נגדיר פונקציה $f:S^n\to {\mathbb{ℝ}}^n$ כך:

$f(x)=(d(x,F_1),\dots ,d(x,F_n))$

$f$ בבירור רציפה ולכן לפי משפט בורסוק-אולם קיים $x^{*}\in S^n$ כך ש-$f(x^{*})=f(-x^{*})$. בפרט אם קיים $1\le i\le n$ כך ש-$d(x^{*},F_i)=0$ אז גם $d(-x^{*},F_i)=0$. אולם $F_i$ סגורה ושווה לסגור שלה, ולכן במקרה כזה $x^{*},-x^{*}$ הן זוג נקודות אנטיפודיות הנמצאות ב-$F_i$.

נותר המקרה בו $d(x^{*},F_i)=d(-x^{*},F_i)\ne 0$ לכל $1\le i\le n$. במקרה כזה $x^{*},-x^{*}$ לא נמצאות באף אחת מן הקבוצות $F_1,\dots ,F_n$ (כי מרחקן מכל אחת מהן חיובי) ולכן הן חייבות להימצא יחדיו ב-$F_{n+1}$.

המקרה הפתוח מתוך המקרה הסגור

יהי $U_1,\dots ,U_{n+1}$ אוסף של n+1 קבוצות פתוחות המכסות את $S^n$. לכל $1\le i\le n+1$ ולכל $x\in U_i$ נבחר סביבה פתוחה קטנה מספיק $V_x$ כך ש-$x\in V_x^i\subseteq \overline{V_x^i}\subseteq U_i$. איחוד כל הסביבות $V_x^i$ לכל ה-x וה-i הוא כיסוי פתוח של $S^n$. הספירה היא קבוצה קומפקטית ולכן יש לכיסוי תת-כיסוי סופי $V_1,\dots ,V_m$. נאחד את כל הקבוצות $\overline{V_j}$ המוכלות באותה קבוצה $U_i$. זהו איחוד סופי של קבוצות סגורות ולכן לכל i נקבל קבוצה סגורה $F_i\subseteq U_i$. קיבלנו כיסוי $F_1,\dots ,F_{n+1}$ של הספירה, ולכן לפי המקרה הסגור קיימים $l$ ונקודה $x^{*}\in S^n$ כך ש-$x^{*},-x^{*}\in F_l\subseteq U_l$ כפי שרצינו להוכיח.

המקרה הכללי מתוך המקרה הפתוח

יהי $A_1,\dots ,A_{n+1}$ אוסף של n+1 קבוצות סגורות או פתוחות המכסות את $S^n$. לכל $A_i$ סגורה נגדיר $U_i^k=\{x\in S^n\mid d(x,A_i)<\frac{1}{k}\}$. ולכל $A_i$ פתוחה נגדיר $U_i^k=A_i$. לכל k, $U_1^k,\dots ,U_{n+1}^k$ כיסוי פתוח של $S^n$, ולכן לפי הגרסה הפתוחה קיימים $l_k$ וזוג נקודות $x_k,-x_k\in U_{l_k}^k$. אם ל-k כלשהו $A_{l_k}$ פתוחה סיימנו, כי $x_k,-x_k\in U_{l_k}^k=A_{l_k}$. לכן נניח שלכל k $A_{l_k}$ סגורה. הסדרה $\{l_k\}$ היא סדרה אינסופית שמקבלת מספר סופי של ערכים (שלמים $1\le l_k\le n+1$) ולכן יש מספר $l$ שמופיע בה אינסוף פעמים. נסתכל על תת-סדרה מתכנסת של הסדרה $(x_k{)}_k$ שאיבריה מקיימים $l_k=l$. נסמן את גבולה $x^{*}$. מתקיים $d(x^{*},A_l)=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }d(x_k,A_{l_k})=0$. ולכן, מכיוון שהנחנו ש-$A_l$ סגורה, מתקיים $x^{*}\in A_l$. מאותה סיבה מתקיים $-x^{*}\in A_l$.

בורסוק-אולם מתוך המקרה הסגור

למה. ניתן לכסות את $S^{n-1}$ באמצעות n+1 קבוצות סגורות שלא מכילות אנטיפודים.

הוכחה. נמקם סימפלקס במרחב ה-n ממדי כך שהראשית נמצאת במרכז הסימפלקס. כעת נטיל את n+1 פאות הסימפלקס על הספירה $S^{n-1}$ באמצעות קרניים שיוצאות מהראשית. קל לראות שתמונת הפאות הן הקבוצות הסגורות הנדרשות.

הוכחת בורסוק-אולם. נניח בשלילה שקיימת פונקציה $f:S^n\to {\mathbb{ℝ}}^n$ כך שלכל $x\in S^n$ מתקיים $f(x)\ne f(-x)$. אזי הפונקציה $g:S^n\to S^{n-1}$ המוגדרת לפי $g(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{\Vert f(x)-f(-x)\Vert }$ מוגדרת היטב (כי המכנה לא מתאפס) ורציפה. נשים לב כי לכל $x\in S^n$ מתקיים $g(x)=-g(-x)$.

יהי $F_1,\dots ,F_{n+1}$ כיסוי של $S^{n-1}$ באמצעות קבוצות סגורות שלא מכילות אנטיפודים. $g^{-1}(F_1)\dots ,g^{-1}(F_{n+1})$ הוא כיסוי של $S^n$ באמצעות קבוצות סגורות, ולכן לפי משפט לוסטרניק-שנירלמן קיימים $x^{*},-x^{*}\in g^{-1}(F_l)$. אולם אז $g(x^{*})\in f^{-1}(F_l)$ וגם $-g(x^{*})=g(-x^{*})\in f^{-1}(F_l)$ בסתירה לטענה ש-$F_l$ אינה מכילה אנטיפודים.

שימושים

משפט לוסטרניק-שנירלמן עומד בבסיס הוכחה פשוטה למשפט לובאס-קנזר בתורת הגרפים, מה שמדגים את היותו כלי חשוב בקומבינטוריקה טופולוגית.

ראו גם

• השערת בורסוק

לקריאה נוספת

• Matoušek, Jiří (2003). Using the Borsuk–Ulam theorem. Berlin: Springer Verlag. doi:10.1007/978-3-540-76649-0. ISBN 3-540-00362-2