חבורת קווטרניונים מוכללת

בתורת החבורות, חבורת קווטרניונים מוכללת היא חבורה שיש לה הצגה מהצורה $⟨x,y|x^n=y^2,yx{y}^{-1}=x^{-1}⟩$ לשלם n כלשהו. זוהי חבורה מסדר $4n$, שמקובל לסמן ב-${Q}_{4n}$. חבורת הקווטרניונים הסטנדרטית היא החבורה ${Q}_8$, המתאימה למקרה n=2.

אפשר להציג חבורת קווטרניונים מוכללת באמצעות מטריצות בגודל $2\times 2$ מעל $\mathbb{ℂ}$, כחבורה הנוצרת על ידי $x=\left(\begin{array}{cc}{\rho }_n& 0\\ 0& {\rho }_n^{-1}\end{array}\right),y=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$, כאשר ${\rho }_n$ הוא שורש היחידה הפרימיטיבי מסדר n. חבורה זו מוכלת באלגברת הקווטרניונים של המילטון, שם היא נוצרת על ידי $x=e^{2\pi i/n}$ ו- $y=j$.

כל תת-חבורה אבלית של ${Q}_n$ היא ציקלית. כל חבורת-p סופית עם תכונה זו היא או ציקלית, או חבורת קווטרניונים מוכללת. בחבורת קווטרניונים מסדר חזקת-2 יש תת-חבורה יחידה מסדר 2, ושוב, כל חבורת-p סופית שיש לה תת-חבורה יחידה מסדר p היא או ציקלית או חבורת קווטרניונים מוכללת. כל חבורה סופית שכל תת-החבורות שלה הן נורמליות היא או אבלית, או מכפלה ישרה של חבורת קווטרניונים מוכללת מסדר חזקת-2 וחבורת-2 אבלית אלמנטרית (כלומר, מכפלה ישרה של עותקים של החבורה הציקלית מסדר 2).

חבורת 2-סילו של חבורת המטריצות ${\mathrm{SL}}_2(F)$ מעל שדה סופי F מסדר אי זוגי, היא חבורת קווטרניונים מוכללת.

מקורות

Group Theory, Scott. en:Quaternion group#Generalized quaternion group