הצגת המקור של הדף "אי-שוויון דבורצקי-קיפר-וולפוביץ"

בתורת ה[[הסתברות]], '''אי-שוויון דבורצקי-קיפר-וולפוביץ''' הוא [[אי-שוויון (מתמטיקה)|אי-שוויון]] החוסם את המרחק בין התפלגות דגימה לבין ההתפלגות התאורטית שממנה נלקחת הדגימה. אי-השוויון קרוי על-שם המתמטיקאים [[אריה דבורצקי]], [[ג'ק קיפר]] {{אנ|Jack Kiefer (statistician)}} ו[[ג'ייקוב וולפוביץ]] {{אנ|Jacob Wolfowitz}} שגילו אותו ב-[[1956]]{{הערה|1={{cite journal|url=http://projecteuclid.org/euclid.aoms/1177728174|title=Asymptotic minimax character of the sample distribution function and of the classical multinomial estimator|last2=Kiefer|first2=J.|date=1956|journal=Annals of Mathematical Statistics|issue=3|doi=10.1214/aoms/1177728174|volume=27|pages=642–669|mr=0083864|last3=Wolfowitz|first3=J.|last1=Dvoretzky|first1=A.}}.}}. בגרסה המקורית הופיע באגף ימין של אי-השוויון גורם קבוע C, שערכו לא הוגדר. ב-1990 מצא Pascal Massart
{{הערה|1={{cite journal|url=http://projecteuclid.org/euclid.aop/1176990746|title=The tight constant in the Dvoretzky–Kiefer–Wolfowitz inequality|last=Massart|first=P.|date=1990|journal=Annals of Probability|issue=3|doi=10.1214/aop/1176990746|volume=18|pages=1269–1283|mr=1062069}}}} את ערכו המדויק של הקבוע, והראה שלא ניתן לשפר את התוצאה מעבר אליו.

== אי-השוויון ==

עבור מספר טבעי <math>n</math>, יהיו <math>X_1,\dots,X_n</math> [[משתנה מקרי|משתנים מקריים]] ממשיים, [[אי תלות (סטטיסטיקה)|בלתי תלויים]] ושווי התפלגות, עם [[פונקציית התפלגות]] <math>F</math>. נסמן ב- <math>F_n</math> את פונקציית ההתפלגות המצטברת האמפירית המתקבלת מן המדגם: <math>F_n(x)=\frac1n \sum_{i=1}^n 1_{(-\infty,x]}(X_i),\quad x\in{\mathbb R}.</math>. אי-שוויון דבורצקי-קיפר-וולפוביץ חוסם את הסיכוי שהפונקציה המקרית <math>F_n</math> תהיה רחוקה מ-<math>F</math> ביותר מקבוע <math>\varepsilon>0</math> במקום כלשהו על הישר הממשי. ליתר דיוק,<math>\ \mathbb{P} \Bigl( \sup_{x\in\mathbb R} |F_n(x) - F(x)| > \varepsilon \Bigr) \le 2e^{-2n\varepsilon^2}</math> לכל <math>\varepsilon>0</math>. תוצאה זו מחזקת את [[משפט גליבנקו-קנטלי]], בכך שהיא קובעת את קצב ההתכנסות של המרחק כאשר n גדל לאינסוף. אי-השוויון מספק גם אומדן להסתברות הזנב של [[מבחן קולמוגורוב-סמירנוב|הסטטיסטי של קולמוגורוב-סמירנוב]].

לדוגמה, אם דוגמים <math>n=150</math> ערכים מהתפלגות לא ידועה <math>F</math>, ומגדירים <math>F_n</math> כמקודם, אז הסיכוי לכך שתהיה נקודה ממשית שבה <math>|F(x)-F_n(x)|>0.1</math> קטן מ-<math>2e^{-2n\cdot 0.1^2} = 2e^{-3} \approx 0.1</math>. השגיאה יורדת בקצב אקספוננציאלי בגודל המדגם.

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים|יישור=שמאל}}

[[קטגוריה:אי-שוויונות בתורת ההסתברות|דבורצקי-קיפר-וולפוביץ]]