הצגת המקור של הדף "קבוע דה ברויין-ניומן"

ב[[מתמטיקה]], '''קבוע דה ברויין-ניומן''', המסומן באות <math>\Lambda</math>, הוא [[קבוע מתמטי]] ממשי, שערכו אינו ידוע. הקבוע מוגדר באמצעות משפחה חד-פרמטרית של [[פונקציה מרוכבת|פונקציות מרוכבות]] <math>H_t(z)</math>, וחשיבותו בכך ש[[השערת רימן]] שקולה לכך שהוא אינו גדול מאפס. ידוע ש-<math>0\leq \Lambda</math>. 

אם מגדירים <math>\Phi(u) = \sum_{n=1}^{\infty} (2\pi^2 n^4 e^{9u}-3\pi n^2e^{5u})\exp(-\pi n^2 e^{4u})</math> (כאשר <math>0 \leq u</math> ממשי), אפשר לבטא את [[פונקציית קסי של רימן]] כאינטגרל <math>\frac{1}{8}\xi(z/2) = \int_{0}^{\infty} \Phi(u)\cos(zu) du</math> (כאשר <math>z</math> משתנה מרוכב). השערת רימן שקולה לטענה ש-<math>\xi</math> היא '''בעלת שורשים ממשיים בלבד''' (כלומר, כל הערכים <math>z \in \mathbb{C}</math> שעבורם <math>\xi(z) = 0</math> הם ממשיים). את ההגדרה הזו אפשר להכליל באמצעות הוספת פרמטר ממשי <math>\lambda</math> למשפחת פונקציות <math>H_\lambda(z) = \int_0^\infty e^{{\lambda}u^2}\Phi(u) \cos(zu) du</math>, כך ש-<math>\frac{1}{8}\xi(z/2) = H_0(z)</math>. 

בהקשר זה, טבעי לשאול עבור אלו ערכים של <math>\lambda</math> הפונקציה <math>H_\lambda(z)</math> היא בעלת שורשים ממשיים בלבד. הקבוע <math>\Lambda</math> מוגדר כ[[אינפימום]] של קבוצת הערכים <math>\lambda</math> שעבורם <math>H_\lambda(z)</math> היא בעלת שורשים ממשיים בלבד. לאור הקשר בין הפונקציה <math>\xi</math> לבין <math>H_0</math>, השערת רימן שקולה לטענה ש-<math>\Lambda\leq 0</math>.

[[ניקולאס חוברט דה ברויין]] הוכיח ב-[[1950]] ש-<math>H_\lambda(z)</math> בעלת שורשים ממשיים בלבד לכל <math>\Lambda < \lambda</math>, ואינה כזו לכל <math>\lambda < \Lambda</math>. בנוסף, הוא הוכיח ש-<math>\Lambda \leq 1/2</math>. [[צ'ארלס ניומן]] השלים את התמונה בשנת [[1976]], בהוכיחו ש-<math>H_\lambda(z)</math> בעלת שורשים ממשיים בלבד גם עבור <math>\lambda = \Lambda</math>, ושיער ש-<math>0 \leq \Lambda</math>; כלומר, ש-<math>H_\lambda</math> אינה בעלת שורשים ממשיים בלבד כאשר <math>\lambda < 0</math>.

הגבול התחתון הטוב ביותר הידוע עבור הקבוע השתפר בהדרגה, לפי הטבלה הבאה: 
{| class="wikitable"
!שנה||גבול תחתון ידוע || מקור 
|-
|1988 || <math>- 50</math> ||
|-
|1991 || <math>-5</math>||		
|-
|1990 || <math>-0.385</math> ||
|-
|1994 ||  <math>- 4.379\cdot 10^{-6}</math> || Csordas, Smith and Varga
|-
|1993 || <math>- 5.895\cdot 10^{-9}</math> || Csordas, Odlyzko, Smith and Varga
|-
|2000 || <math>- 2.7 \cdot 10^{-9}</math> ||
|-
|2011 || <math>-1.1\cdot 10^{-12}</math> ||
|-
|2018 || <math>0</math> || Rodgers and Tao{{הערה|Brad Rodgers, Terence Tao, [https://arxiv.org/abs/1801.05914 The De Bruijn-Newman constant is non-negative], [[arXiv]]}}
|}

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים|יישור=שמאל}}

[[קטגוריה:תורת המספרים האנליטית]]
[[קטגוריה:השערת רימן]]
[[קטגוריה:קבועים מתמטיים|דה ברויין-ניומן]]