תורת הדגימה (עיבוד אותות)

אות צר סרט כלשהו במרחב התדר

השכפול בתדר נייקוויסט

כאשר תדר הדגימה נמוך יותר

בתורת האינפורמציה, בעיבוד אותות ובמיוחד במערכות תקשורת, תורת הדגימה היא התחום המדעי העוסק במגבלות ודרישות ממערכות דגימה של אותות וסינתזה שלהם.

דגימה היא התהליך של הפיכת אות רציף (כפונקציה של הזמן או המרחב) לסדרת מספרים או אות בדיד הקיים רק בנקודות בדידות בזמן או במרחב.

המשפט המרכזי של תורת הדגימה הוא משפט הדגימה של שאנון־נייקוויסט שאומר שיש לדגום בתדר שהוא לפחות פי 2 מתדר השידור על מנת להימנע משגיאות. ההסבר האינטואיטיבי למשפט הדגימה הוא כאשר דוגמים אות רציף, אז מכפילים את האות במסרק הלמים. כאשר עוברים למרחב התדר, ההכפלה הופכת לקונבולוציה של מסרק הלמים ולספקטרום האות ולכן נקבל שכפול מחזורי של צורת הספקטרום של אות המידע כאשר מרכז הספקטרום יושב במכפלות תדר הדגימה. אם תדר הדגימה יהיה מתחת לפעמיים התדר המקסימלי, השכפולים הללו יחפפו אחד את השני ובתהליך שחזור האות, בו מסננים רק את הספקטרום הבסיסי, הוא יתעוות. תופעה זו נקראת "התחזות" או "קיפול תדרים" (Aliasing).

מבוא

עבור אות רציף, חסום פס (Band limited) ומוגבל אנרגיה $x(t)$, התמרת פורייה של האות תהיה:

$$\begin{gathered} X(f) \\ \stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=} \\ \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x(t) \\ {e}^{-i2\pi ft} \\ dt \end{gathered}$$

האות חסום פס, כלומר אין לו תדרים הגבוהים מהתדר החוסם $B$, כלומר $X(f)=0$ עבור $|f|>B$.

נשתמש בתדר הדגימה $f_s$, ביחידות של דגימות לשנייה, באופן הבא:

$f_s>2B$

ולכן:

$B<\frac{f_s}{2}$

כלומר תדר הדגימה גדול יותר מהחסם העליון של תדר האות. באופן כזה הדגימה לא תאבד מידע מהאות.

פרק הזמן בין הדגימות:

$$\begin{gathered} T \\ \stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=} \\ \frac{1}{f_s} \end{gathered}$$

כאשר $n\in \mathbb{\mathbb{Z}}x(nT)$ (מספר שלם).

יישומים

הדגימה היא אחד מהשלבים החשובים ביותר בעיבוד ספרתי של אותות. האותות בטבע הם לרוב רציפים או אנלוגים כגון אותות דיבור הנקלטים במיקרופון של טלפון סלולרי או האותות החשמלים הנפלטים ממוח האדם למשל בבדיקת EEG. לצורך עיבודם בצורה ספרתית על ידי מחשב או מעגל משולב ספרתי, יש צורך להפכם לסדרות מספרים או אותות ספרתיים ופעולה זו מבוצעת על ידי דגימת האותות.

ראו גם

• תדר נייקוויסט
• אות (תקשורת)
• עיבוד אותות ספרתי
• מסנן מתואם
• מסרק דיראק
• אלגוריתם גרצל
• קוונטיזציה
• הפרעה בין סימנים

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא תורת הדגימה בוויקישיתוף   

• .html תורת הדגימה, באתר MathWorld (באנגלית)   
• ד"ר טל קוולר, מדוע נראה שהגלגלים סובבים לאחור?, במדור "שאל את המומחה" באתר של מכון דוידסון לחינוך מדעי, 15 ביוני 2017