קו-מכפלה (תורת הקטגוריות)

במתמטיקה, ובמיוחד בתורת הקטגוריות, קו-מכפלה של אובייקטים בקטגוריה היא הכללה של בניות שונות במתמטיקה, כגון איחוד זר של קבוצות, מכפלה חופשית של חבורות, סכום ישר של מרחבים וקטוריים וכו'. במהותה, קו-מכפלה של זוג אובייקטים היא הקונספט הדואלי למכפלה (תורת הקטגוריות).

הגדרה

נניח כי C היא קטגוריה וכי ${X_{j} | j \in I}$ היא משפחה של אובייקטים ב-C. הקו-מכפלה של הקבוצה ${X_{i}}$ היא אובייקט X ביחד עם אוסף מורפיזמים $i_{j} : X_{j} \to X$ (הנקראות השיכונים הקנוניים, שהם לעיתים קרובות, אם כי לא תמיד מונומורפיזמים) אשר מקיימים את התכונה האוניברסלית הבאה: לכל אובייקט Y ואוסף מורפיזמים $f_{j} : X_{j} \to Y$ קיים מורפיזם יחיד $f : X \to Y$ כך שלכל $j \in I$ מתקיים $f_{j} = f \circ i_{j}$ . במילים אחרות, לכל j הדיאגרמה הבאה היא דיאגרמה קומוטטיבית:

התכונה האוניברסלית של קו-מכפלה

במילים אחרות, X הוא אובייקט התחלתי בקטגוריה $_{{X_{j}}} C = {(Z, {g_{j} : X_{j} \to Z}) | \forall i : X, X_{j} \in O b (C), g_{j} \in M o r (Z, X_{j})}$ עם המורפיזמים המתאימים (כך שהדיאגרמה המתאימה קומוטטיבית).

אם משפחת האובייקטים מכילה רק שני איברים, נהוג לסמן את המכפלה ב $X_{1} ∐ X_{2}$ , ואז התכונה האוניברסלית מבוטאת על ידי הדיאגרמה הקומוטטיבית הבאה:

התכונה האוניברסלית של מכפלת זוג אובייקטים

המורפיזם היחיד f ההופך את הדיאגרמה לקומוטטיבית מסומן לעיתים ב-f₁ ∐ f₂ או f₁ ⊕ f₂ או f₁ + f₂ או [f₁, f₂].

באופן כללי, הקו-מכפלה של ${X_{j} | j \in I}$ מסומנת

X = \underset{j \in I}{∐} X_{j}

ולעיתים

X = ⨁_{j \in I} X_{j}

.

דוגמאות

בקטגוריית הקבוצות, איחוד זר של קבוצות היא קו-מכפלה, כאשר השיכונים $i_{A}$ ו- $i_{B}$ הם פשוט ההכלות (כגון $A \subset A ⊎ B$ ). בפרט, $A ∐ B = A ⊎ B$ , וזו הסיבה מדוע משתמשים לעיתים בסימן ∐ לציין איחוד זר.
אפשר לבנות קו-מכפלה גם של קבוצות לא זרות באופן הבאה: אם $A \cap B \neq \emptyset$ לוקחים קבוצה $B^{'}$ שוות עוצמה ל-B שזרה ל-A ואז בונים את האיחוד $A ⊎ B^{'}$ עם שיכון $i_{B^{'}} \circ f$ כאשר $f : B \to B^{'}$ היא פונקציית שקילות של קבוצות.
קו-מכפלה בקטגוריה של חבורות אבליות היא סכום ישר של החבורות, ומסומנת $G \oplus H$ .
קו-מכפלה בקטגוריה של מרחבים וקטוריים היא סכום ישר של המרחבים, ומסומנת $V = ⨁_{j \in I} V_{j}$ כאשר את איבריה ניתן להציג כקבוצת כל הסכומים הסופים של איברים מ-V, כלומר: שכמעט לכל $j \in I$ האיבר שבא מ- $V_{j}$ שווה לאפס. למשל: $v_{1} + v_{2} \in ⨁_{n = 1}^{\infty} V_{n}$ אך $0 + 0 + v_{3} + v_{4} + v_{5} + . . . = \sum_{n = 3}^{\infty} v_{j} \notin ⨁_{n = 1}^{\infty} V_{n}$ .
בקטגוריה של חוגים קומוטטיביים עם יחידה, המכפלה הטנזורית של A ו-B המסומנת ב $A \otimes B$ היא קו-מכפלה, ביחד עם השיכונים הקנוניים $a \mapsto a \otimes 1 \in A \otimes B$ ו- $b \mapsto 1 \otimes b \in A \otimes B$ .

קיום ויחידות

לא בכל קטגוריה C קיימת לכל משפחה ${X_{j}}$ קו-מכפלה. אם קיימת המכפלה אז היא יחידה במובן הבא: אם $i_{j} : X_{j} \to X$ ו- $i'_{j} : X_{j} \to X^{'}$ הן זוג מכפלות של המשפחה ${X_{j}}$ אז קיים איזומורפיזם יחיד $f : X \to X^{'}$ כך ש ${i_{j}}^{'} = f \circ i_{j}$ .

ראו גם

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא קו-מכפלה בוויקישיתוף המזהה לא מולא ולא נמצא בוויקינתונים, נא למלא את הפרמטר.

String Module Error: Target string is empty.html קו-מכפלה, באתר MathWorld (באנגלית) המזהה לא מולא ולא נמצא בוויקינתונים, נא למלא את הפרמטר.