קבוע אוילר-מסקרוני

השטח הכחול הכלוא בין גרף של $1/\lfloor x\rfloor$ לגרף של $1/x$ בקטע מ-1 עד אינסוף שווה לקבוע אוילר מסקרוני.

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

קבוע אוילר, הידוע גם כקבוע אוילר-מסקרוני או כקבוע מסקרוני הוא קבוע מתמטי, שהשימוש העיקרי שלו הוא בתורת המספרים. זהו קבוע חשוב במתמטיקה, המשמש בחישובים רבים המשפיעים על חיי היום יום. למשל, לחישוב של גידול אקספוננציאלי (כגון התפשטות נגיף הקורונה), או לחישוב של ריביות, בעיקר ריבית דריבית, וכן לחישוב הסתברויות.

קבוע אוילר מסומן באות גמא ($\gamma$) ומוגדר על ידי הגבול:

$$\gamma =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots +\frac{1}{n}-\ln n$$

כלומר קבוע אוילר הוא ההפרש האסימפטוטי בין הטור ההרמוני ללוגריתם הטבעי. הפרש זה מתכנס באופן טבעי מכיוון ש-$\ln n=\underset{1}{\overset{n}{\int }}\frac{1}{x}dx$ ולכן סכום $\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}$ הוא מן "גרסה בדידה" של הלוגריתם הטבעי. מכאן נובעת דרך תיאור נוספת של הקבוע: $\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\frac{1}{\lfloor x\rfloor }-\frac{1}{x})dx$, כאשר $\lfloor x\rfloor$ הוא הערך השלם של x.

ערכו של הקבוע הוא בקירוב: $\gamma =0.577215664901532860\dots$ ‏(סדרה באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים   ). עדיין לא ידוע אם קבוע אוילר רציונלי או אי רציונלי.

היסטוריה

הקבוע הוגדר לראשונה על ידי המתמטיקאי השווייצרי לאונרד אוילר במאמרו "De Progressionibus harmonicus observationes" אשר פורסם בשנת 1735. אוילר השתמש בסימון C עבור הקבוע, וחישב בראשונה את ערכו בדיוק של 6 ספרות אחרי הנקודה. בשנת 1761 הוא הרחיב את החישוב, ופרסם אותו בדיוק של 16 ספרות אחרי הנקודה. בשנת 1790, הציע המתמטיקאי האיטלקי לורנצו מסקרוני את סימון הקבוע באות $\gamma$ (גמא היוונית), וניסה להרחיב את ערכו של הקבוע עד ל-32 ספרות אחרי הנקודה, אם כי חישובים מאוחרים יותר גילו כי מסקרוני שגה בחישוב הספרה ה-20 אחרי הנקודה. המתמטיקאי ההודי סריניוואסה רמנוג'אן מצא טורים שונים המתכנסים ל-$\gamma$.

כפי שנאמר, לא ידוע האם קבוע אוילר הוא מספר רציונלי או לא. עם זאת, ניתוח שבר משולב מראה כי אם קבוע אוילר הוא רציונלי, הרי שהמכנה בשבר המגדיר אותו לא יהיה קטן מ-$10^{242080}$.

תכונות

קיום הקבוע

ההוכחה שהסדרה

$$a_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots +\frac{1}{n}-\ln n$$

מתכנסת לגבול סופי היא קלה מאוד, אך עדיין אינה טריוויאלית. ברור מן הגרף לעיל שזו סדרה מונוטונית עולה וחיובית ולכן מספיק להוכיח קיום חסם עליון. מספיק להראות ש-

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(a_n-1)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots +\frac{1}{n}-\ln n$$

קיים. קל לראות שלכל $k$ שטח המלבן שרוחבו 1 וגובהו $\frac{1}{k}$ קטן מהאינטגרל $\underset{k}{\overset{k+1}{\int }}\frac{dx}{x-1}$, ולכן מתקיים $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots +\frac{1}{n}-\ln n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots +\frac{1}{n}-\underset{1}{\overset{n}{\int }}\frac{1}{x}<0$$.

לפיכך הגבול קיים ו-$-1<\gamma -1<0⟹0<\gamma <1$.

הצגות אינטגרליות

ניתן לקבל את ערכו של הקבוע גם על פי האינטגרלים הבאים:

$\gamma =-\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x}\ln (x)dx$

$=-\underset{0}{\overset{1}{\int }}\ln \ln \left(\frac{1}{x}\right)dx$

$=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\frac{1}{1-e^{-x}}-\frac{1}{x})e^{-x}dx$

$=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{x}(\frac{1}{1+x}-e^{-x})dx.$

אינטגרלים אחרים אשר מכילים את ערך $\gamma$ הם:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}\ln (x)dx=-1/4(\gamma +2\ln 2)\sqrt{\pi }$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x}(\ln (x){)}^{2}dx={\gamma }^2+1/6{\pi }^2.$

ניתן לבטא את קבוע אוילר גם בעזרת אינטגרל כפול:

$\gamma =\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x-1}{(1-xy)\ln (xy)}dxdy.$

בדומה האינטגרל הכפול הבא שהוצג על ידי ג'. סונדאו (2005):

$\ln \left(\frac{4}{\pi }\right)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x-1}{(1+xy)\ln (xy)}dxdy.$

מראה כי ניתן להסתכל על $\ln \left(\frac{4}{\pi }\right)$ בתור "קבוע אוילר חילופי".

בשנת 1910, הציג ואקה את הסכום הבא:

$\gamma =\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^m\frac{\lfloor {\log }_{2}m\rfloor }{m}$

כאשר ${\log }_2$ הוא הלוגריתם בבסיס 2 ו-$\lfloor \rfloor$ היא פונקציית הערך השלם.

ניתן לקבל את סדרתו של ואקה על ידי מניפולציה של אינטגרל Catalan.

$\gamma =\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{1+x}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{x}^{2^n-1}dx.$

קשרים לפונקציות מיוחדות

ניתן לבטא את קבוע אוילר גם כטור אינסופי של איברים הכוללים ערכים של פונקציית זטא של רימן של מספרים שלמים וחיוביים:

$\gamma =\sum _{m=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^m\zeta (m)}{m}$

$=\ln \left(\frac{4}{\pi }\right)+\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{m-1}\zeta (m+1)}{2^m(m+1)}.$

סדרות נוספות הקשורות לפונקציית זטא של רימן:

$\gamma =\frac{3}{2}-\ln 2-\sum _{m=2}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^m\frac{m-1}{m}[\zeta (m)-1]$

$=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }[\frac{2^n}{e^{2^n}}\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{2^{mn}}{(m+1)!}\sum _{t=0}^m\frac{1}{t+1}-n\ln 2+O\left(\frac{1}{2^n{e}^{2^n}}\right)]$

$=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }[\frac{2n-1}{2n}-\ln n+\sum _{k=2}^n(\frac{1}{k}-\frac{\zeta (1-k)}{n^k})].$

כמו כן, ניתן לבטא את הקבוע על ידי פונקציית בטא (במונחים של פונקציות גמא):

$\gamma =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }[\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{n})\mathrm{\Gamma }(n+1)n^{1+1/n}}{\mathrm{\Gamma }(2+n+\frac{1}{n})}-\frac{n^2}{n+1}].$

שני גבולות השווים בערכם לקבוע אוילר-מסקרוני הם הגבול האנטי-סימטרי:

$\gamma =\underset{s\to 1}{\lim }\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{n^s}-\frac{1}{s^n})$

והגבול

$\gamma =\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }[x-\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{x}\right)]=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n=1}(\lceil \frac{n}{k}\rceil -\frac{n}{k})$

סדרת זטא הרציונלית היא ביטוי קשור מאוד לנוסחה שהוצגה לעיל. אם נסיר מספר איברים מהסדרה לעיל, ניתן לקבל הערכה לגבול סדרה הקלאסי:

$\gamma =\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln (n)-\sum _{m=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{\zeta (m,n+1)}{m}$

כאשר $\zeta (s,k{)}_{}^{}$ היא פונקציית הורביץ-זטא. הסכום במשוואה זה מערב מספרים הרמוניים, המסומנים ב-$H_n$. הרחבת מספר איברים בפונקציית הורביץ-זטא מביא אותנו למשוואה:

$H_n=\ln n+\gamma +\frac{1}{2n}-\frac{1}{12n^2}+\frac{1}{120n^4}-\epsilon$, כאשר $0<\epsilon <\frac{1}{252n^6}.$

לבסוף, ניתן לחשב את הקבוע כנגזרת של פונקציית גמא של אוילר:

$\gamma =-{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(1{)}_{}^{}.$

$e^{\gamma }$

הקבוע $e^{\gamma }$ נחשב גם הוא לקבוע חשוב בתורת המספרים. מדי פעם, מסמנים קבוע זה גם ב${\gamma }^{\prime }$ ומבטאים אותו בעזרת הגבול הבא, כאשר p_n הוא המספר הראשוני ה-n-י:

$e^{\gamma }=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{\ln p_n}\prod _{i=1}^n\frac{p_i}{p_i-1}$

אשר מהווה ניסוח מחודש לשלישי מבין משפטי מרטן. הערך המספרי של $e^{\gamma }$ הוא:

$e^{\gamma }=1.78107241799019798523650410310717954916964521430343\dots$

מכפלות אינסופיות נוספות הקשורות לערך של קבוע זה הן:

$\frac{e^{1+\gamma /2}}{\sqrt{2\pi }}=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-1+1/(2n)}{(1+\frac{1}{n})}^n$

$\frac{e^{3+2\gamma }}{2\pi }=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-2+2/n}{(1+\frac{2}{n})}^n.$

שתי המכפלות הללו נובעות פונקציית G של בארנס. כמו כן:

$e^{\gamma }={\left(\frac{2}{1}\right)}^{1/2}{\left(\frac{2^2}{1\cdot 3}\right)}^{1/3}{\left(\frac{2^3\cdot 4}{1\cdot 3^3}\right)}^{1/4}\cdots$

שהוצג על ידי ג'ונתן סונדאו על ידי שימוש בפונקציות היפר-גאומטריות.

מופעים

קבוע אוילר-מסקרוני מופיע, בנוסף למקומות אחרים, גם ב:

• אי-שוויון עבור פונקציית אוילר.
• שיעור צמיחה של פונקציית המחלקים.
• נוסחת כפל עבור פונקציית גמא.
• חישוב של פונקציית דיגאמה.
• ביטויים הכוללים את האינטגרל המעריכי.
• האיבר הראשון בפיתוח טור טיילור עבור פונקציית זטא של רימן.
• ביטוי למציאת קירוב של צפיפות מספרים ראשוניים בתחום מסוים.

ראו גם

• קבוע מייזל-מרטנס
• יחס הזהב

לקריאה נוספת

• Julian Havil, Gamma: Exploring Euler's Constant, Princeton University Press, 2017

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא קבוע אוילר-מסקרוני בוויקישיתוף   

• קבוע אוילר-מסקרוני, באתר MathWorld (באנגלית)