קבוע הפרבולה האוניברסלי

במתמטיקה, קבוע הפרבולה האוניברסלי (המסומן באות P) הוא קבוע מתמטי טרנסצנדנטי אשר מוגדר עבור כל פרבולה כיחס בין אורך הקשת והקטע המחבר בין המוקד והמדריך^{[דרושה הבהרה]} (ראו שרטוט). ערכו של הקבוע הוא:

קבוע הפרבולה האוניברסלי הוא היחס בין הקטע האדום לקטע הירוק.

$P=\ln (1+\sqrt{2})+\sqrt{2}=2.29558714939\dots$

הפרבולה והמעגל הם חתכי החרוט היחידים שיש להם קבוע אוניברסלי (למעגל יש את המספר פאי).

חישוב

אם נסתכל על פרבולה $y=\frac{x^2}{4f}$, ונחשב ממנה את הקבוע:

$\begin{array}{rl}P& :=\frac{1}{p}\underset{-\ell }{\overset{\ell }{\int }}\sqrt{1+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2}dx\\ & =\frac{1}{2f}\underset{-2f}{\overset{2f}{\int }}\sqrt{1+\frac{x^2}{4f^2}}dx\\ & =\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\sqrt{1+t^2}dt(x=2ft)\\ & =\mathrm{arcsinh}(1)+\sqrt{2}\\ & =\ln (1+\sqrt{2})+\sqrt{2}.\end{array}$

המדריך של הפרבולה היא $\ell =2f$ והמוקד הוא $p=2f$.

שימושים ומאפיינים

קבוע הפרבולה האוניברסלי הוא מספר טרנסצנדנטי מכיוון שאם נניח שהוא אלגברי ונחסר שורש שתיים $P-\sqrt{2}=\ln (1+\sqrt{2})$ ונעלה בחזקת e אז נקבל ${e}^{\ln (1+\sqrt{2})}=1+\sqrt{2}$, ועל פי משפט לינדמן-ויירשטראס, אז זה אומר שהמספר שורש שתיים פחות אחד הוא מספר טרנסצנדנטי, וזה סתירה. אז על פי זה, קבוע המספר האוניברסלי הוא מספר טרנסצנדנטי, מכאן הוא גם מספר אי רציונלי.

המספר גם משומש במשפט הבא: המרחק הממוצע של נקודה אקראית למרכז ריבוע היחידה הוא:

$d_{\text{avg}}=\frac{P}{6}.$

הוכחה:

$\begin{array}{rl}{d}_{\text{avg}}& :=8\underset{0}{\overset{\frac{1}{2}}{\int }}\underset{0}{\overset{x}{\int }}\sqrt{x^2+y^2}dydx\\ & =8\underset{0}{\overset{\frac{1}{2}}{\int }}\frac{1}{2}{x}^2(\ln (1+\sqrt{2})+\sqrt{2})dx\\ & =4P\underset{0}{\overset{\frac{1}{2}}{\int }}{x}^{2}dx\\ & =\frac{P}{6}.\end{array}$

קישורים חיצוניים

• .html קבוע הפרבולה האוניברסלי, באתר MathWorld (באנגלית)