פסאודוספירה

פסאודוספירה הוא מונח בגאומטריה עבור משטחים בעלי עקמומיות גאוס שלילית קבועה, כלומר דמויי "אוכף" בכל מקום.

פסאודוספירה עם רדיוס R היא משטח ב-${\mathbb{ℝ}}^3$עם עקמומיות גאוס $-\frac{1}{R^2}$ בכל נקודה.

מקור השם פסאודוספירה מגיע מהאנלוגיה לכדור (ספירה) עם רדיוס R, שהוא משטח עם עקמומיות $\frac{1}{R^2}$ בכל נקודה (לכדור יש עקמומיות גאוס חיובית קבועה). הפסאודוספירה ממלאה בגאומטריה ההיפרבולית תפקיד דומה לזה שממלא הכדור בגאומטריה אליפטית. המונח נטבע על ידי אאוג'ניו בלטראמי במאמרו מ-1868 על מודלים של גאומטריה היפרבולית.

טרקטרואיד

טרקטרואיד.

ניתן לתאר את הפסאודוספירה גם כמשטח הנוצר על ידי סיבוב עקום הטרקטריקס מסביב לאסימפטוטה שלו. לכן, הפסאודוספירה נקראת גם טרקטרואיד. לדוגמה, חצי הפסאודוספירה (עם רדיוס 1) היא משטח סיבוב של הטרקטריקס הניתן להצגה פרמטרית באופן הבא:

$t\mapsto (t-\tanh t,\mathrm{sech}t),0\le t<\mathrm{\infty }.$

זהו מרחב סינגולרי (קו המשווה הוא סינגולרי) אך מלבד הסינגולריות זהו משטח עם עקמומיות גאוס שלילית קבועה ולכן הוא איזומטרי מקומית למישור ההיפרבולי.

תכונות הפסאודוספירה

כבר ב-1693 מצא כריסטיאן הויגנס שהנפח ושטח הפנים של הפסאודוספירה הם סופיים, למרות ההיקף האינסופי של הצורה לאורך ציר הסיבוב.

עבור פסאודוספירה עם רדיוס נתון R, שטח הפנים הכולל הוא $4\pi R^2$, בדומה לכדור עם רדיוס R. נפח הפסאודוספירה הוא $\frac{2}{3}\pi R^3$, מחצית מנפח כדור עם רדיוס R.

עבור פסאודוספירה "מנורמלת" (כלומר, בעלת עקמומיות גאוס קבועה 1-) שטח הפנים הכולל הוא $4\pi$, בדיוק כמו שטח הפנים של כדור עם עקמומיות גאוס 1+. ניתן להסביר תוצאה זאת כמסקנה מיידית ממשפט גאוס-בונה: אם נסתכל על כל אחת ממחציות הפסאודוספירה ונמתח מכל נקודה על שפת הדיסקה המרכזית מסילה גאודזית בכיוון מרכז הדיסקה, יתקבלו אינסוף רצועות פסאודוספיריות המהוות למעשה משולשים גאודזיים אינפיניטסימליים, והמגרעת הזוויתית של משולשים אלו יחסית לשטחם (על פי משפט גאוס-בונה). מכיוון ששתיים מצלעותיו של כל משולש כזה "נפגשות באינסוף", זווית אחת בכל משולש כזה היא בדיוק 0 מעלות, בעוד ששתי הזוויות האחרות מסתכמות ל-$\pi -ϵ$ כאשר $ϵ$ היא הזווית המרכזית המתאימה לקשת המעגל (האינפיניטסימלית) המחברת בין שתי נקודות סמוכות על שפת הדיסקה המרכזית. לפיכך, המגרעת הזוויתית הכוללת של כל המשולשים הללו היא כגודל הזווית המרכזית של מעגל שלם – $2\pi$, וזהו גם שטחה של מחצית הפסאודוספירה. את אותו התהליך ניתן להפעיל באופן דומה על מחצית ספירת יחידה כדי לקבל הוכחה מגאומטריה דיפרנציאלית לכך ששטחה $2\pi$; ההבדל הקונספטואלי בין המקרה הספירי למקרה הפסאודוספירי הוא שבראשון הגיאודזות נפגשות לאחר מרחק סופי (בקטבים של הכדור) בעוד שבמקרה השני הן נפגשות רק "באינסוף".

ראו גם

• גאומטריה לא-אוקלידית
• מרחב עקום

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא פסאודוספירה בוויקישיתוף   

• .html פסאודוספירה, באתר MathWorld (באנגלית)