פונקציית W של למברט

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, פונקציית W של למברט (נקראת גם: פונקציית אומגה), היא פונקציה רב-ערכית, השווה לאוסף הענפים של הפונקציה ההופכית של הפונקציה $f (w) = w e^{w}$ , כש- $w$ הוא מספר מרוכב כלשהו ו- $e^{w}$ היא פונקציית האקספוננט.

לכל מספר שלם $k$ משויך ענף אחד, המסומן בצורה $W_{k} (z)$ . $W_{0}$ מוגדר כענף הראשי (אנ'). לפונקציות אלו מתקיימת התכונה הבאה: אם $z$ ו- $w$ הם מספרים מרוכבים כלשהם, אזי מתקיים:

w e^{w} = z

אם ורק אם:

w = W_{k} (z)

עבור

k

שלם כלשהו.

אם מתעסקים רק בעולם המספרים הממשיים, אז קיימים שני הענפים $W_{0}$ ו- $W_{- 1}$ בלבד; עבור המספרים הממשיים $x$ ו- $y$ והמשוואה:

y e^{y} = x

למשוואה זו יש פתרון רק עבור $x \geq - \frac{1}{e}$ ; אנו מקבלים כי $y = W_{0} (x)$ אם $x \geq 0$ , ואת שני הערכים $y = W_{0} (x)$ וגם $y = W_{- 1} (x)$ אם $- \frac{1}{e} \leq x < 0$ (כפי שניתן לראות בתמונה).

הפונקציה שימושית בקומבינטוריקה, לדוגמה, בספירת עצים. ניתן להשתמש בה בכדי לפתור משוואות המכילות אקספוננט (למשל המקסימום של משוואת פלאנק, משוואת התפלגות בוז-איינשטיין ומשוואת התפלגות פרמי-דיראק).

טרמינולוגיה

פונקציית W של למברט קרויה על שם המתמטיקאי יוהאן היינריך למברט.

לעיתים הענף הראשי $W_{0}$ מסומן כ- $W_{p}$ והענף $W_{- 1}$ מסומן כ- $W_{m}$ .

לעיתים הפונקציה נקראת גם "לוגריתם המכפלה" (באנגלית product logarithm) כיוון שאם הפונקציה ההופכית של $f (w) = e^{w}$ נקראת לוגריתם, אז הגיוני לקרוא לפונקציה ההופכית של המכפלה $w e^{w}$ בשם "לוגריתם המכפלה"

הפונקציה קשורה לקבוע אומגה, ששווה ל- $W_{0} (1)$ .

ייצוגים

אומנם את פונקציית W של למברט לא ניתן לבטא באמצעות פונקציות אלמנטריות^[1]., אך ניתן לייצג אותה ובעיקר את הענף הראשי (אנ') שלה בדרכים אחרות.

באמצעות אינטגרלים מסוימים

בתחום $| x | < \frac{1}{e}$ , ניתן לייצג באמצעות האינטגרל הבא:^[2]

- \frac{π}{2} W_{0} (- x) = \int_{0}^{π} \frac{\sin (\frac{3}{2} t) - x e^{\cos t} \sin (\frac{5}{2} t - \sin t)}{1 - 2 x e^{\cos t} \cos (t - \sin t) + x^{2} e^{2 \cos t}} \sin (\frac{1}{2} t) d t

ועבור התחום הרחב יותר $- \frac{1}{e} \leq x \leq e$ , ניתן לפשט עוד יותר את הביטוי:^[3]

W_{0} (x) = \frac{1}{π} Re \int_{0}^{π} \ln (\frac{e^{e^{i t}} - x e^{- i t}}{e^{e^{i t}} - x e^{i t}}) d t

קיים ייצוג נוסף לענף הראשי:^[4]^[5]

W_{0} (x) = \frac{1}{π} \int_{0}^{π} \log (1 + x \frac{\sin t}{t} e^{t \cot t}) d t

עבור התחום $x \geq - \frac{1}{e}$ בו הענף הראשי מוגדר, מתקיים:^[6]

\begin{aligned} W_{0} (x) & = \frac{x}{2 π} \int_{- π}^{π} \frac{(1 - v \cot v)^{2} + v^{2}}{x + v \csc v e^{- v \cot v}} d v \\ = \frac{x}{π} \int_{0}^{π} \frac{(1 - v \cot v)^{2} + v^{2}}{x + v \csc v e^{- v \cot v}} d v \end{aligned}

(שני האינטגרלים שווים כיוון שהפונקציה בתוך האינטגרל סימטרית).

באמצעות שברים משולבים

ניתן גם להציג את הענף הראשי באמצעות השבר המשולב הבא:^[7]

W_{0} (x) = \frac{x}{1 + \frac{x}{1 + \frac{x}{2 + \frac{5 x}{3 + \frac{17 x}{10 + \frac{133 x}{17 + \frac{1927 x}{190 + \frac{}{}}}}}}}}

ועבור התחום $| W_{0} (x) | < 1$ :^[8]

W_{0} (x) = \frac{x}{\exp \frac{x}{\exp \frac{x}{⋱}}}

ובאופן דומה, עבור התחום $| W_{0} (x) | > e$ :

W_{0} (x) = \ln \frac{x}{\ln \frac{x}{\ln \frac{x}{⋱}}}

ד"א (דיפרנציאביליות ואינטגרביליות)

נגזרת

לפי השיטה למציאת נגזרת של פונקציה סתומה, ניתן להראות כי לכל הענפים של $W$ יש משוואה דיפרנציאלית רגילה:

z (1 + W) \frac{d W}{d z} = W (z \neq \frac{- 1}{e})

( $W$ אינה גזירה עבור $z = - \frac{1}{e}$ ) כתוצאה מכך, אנו מקבלים את הנוסחה הבאה עבור הנגזרת של $W$ :

\frac{d W}{d z} = \frac{W (z)}{z (1 + W (z))} z \notin {0, - \frac{1}{e}}

ובאמצעות שימוש בזהות $e^{W (z)} = \frac{z}{W (z)}$ נקבל את הנוסחה הבאה:

\frac{d W}{d z} = \frac{1}{z + e^{W (z)}} (z \neq - \frac{1}{e})

בענף הראשי נקבל ${W_{0^{'}}}^{'} (0) = 1$ .

אינטגרל

ניתן למצוא את האינטגרל של הפונקציה $W (x)$ , ושל פונקציות רבות נוספות המכילות בתוכן את פונקציית W, על ידי שימוש באינטגרציה באמצעות החלפת משתנים: $w = W (x) (x = w e^{w})$

\begin{aligned} \int W (x) d x & = x W (x) - x + e^{W (x)} + C \\ = x (W (x) - 1 + \frac{1}{W (x)}) + C \end{aligned}

המשוואה השנייה היא בשימוש הנפוץ יותר, אך אינה מוגדרת עבור $x = 0$ .

אם נשתמש בעובדה כי $W_{0} (e) = 1$ נקבל:

\int_{0}^{e} W_{0} (x) d x = e - 1

אינטגרלים מסוימים

קיימים כמה אינטגרלים מסוימים שימושיים של הענף הראשי של פונקציית W. כגון:

\int_{0}^{π} W_{0} (2 \cot^{2} x) \sec^{2} x d x = 4 \sqrt{π}

\int_{0}^{\infty} \frac{W_{0} (x)}{x \sqrt{x}} d x = 2 \sqrt{2 π}

\int_{0}^{\infty} W_{0} (\frac{1}{x^{2}}) d x = 2 \sqrt{π}

את המשוואה הראשונה ניתן למצוא באמצעות כתיבת אינטגרל גאוסיאני בקואורדינטות קוטביות.

את המשוואה השנייה ניתן למצוא על ידי שימוש בהחלפה $u = W_{0} (x)$ , ואז ניתן גם להחליף את:

x = u e^{u}

\frac{d x}{d u} = (u + 1) e^{u}

ואז ניתן להראות כי:

\begin{aligned} \int_{0}^{\infty} \frac{W_{0} (x)}{x \sqrt{x}} d x & = \int_{0}^{\infty} \frac{u}{u e^{u} \sqrt{u e^{u}}} (u + 1) e^{u} d u \\ = \int_{0}^{\infty} \frac{u + 1}{\sqrt{u e^{u}}} d u \\ = \int_{0}^{\infty} \frac{u + 1}{\sqrt{u}} \frac{1}{\sqrt{e^{u}}} d u \\ = \int_{0}^{\infty} u^{\frac{1}{2}} e^{- \frac{u}{2}} d u + \int_{0}^{\infty} u^{- \frac{1}{2}} e^{- \frac{u}{2}} d u \\ = 2 \int_{0}^{\infty} (2 w)^{\frac{1}{2}} e^{- w} d w + 2 \int_{0}^{\infty} (2 w)^{- \frac{1}{2}} e^{- w} d w & (u = 2 w) \\ = 2 \sqrt{2} \int_{0}^{\infty} w^{\frac{1}{2}} e^{- w} d w + \sqrt{2} \int_{0}^{\infty} w^{- \frac{1}{2}} e^{- w} d w \\ = 2 \sqrt{2} \cdot Γ (\frac{3}{2}) + \sqrt{2} \cdot Γ (\frac{1}{2}) \\ = 2 \sqrt{2} (\frac{1}{2} \sqrt{π}) + \sqrt{2} (\sqrt{π}) \\ = 2 \sqrt{2 π} . \end{aligned}

המשוואה השלישית נובעת מהמשוואה השנייה על ידי ההחלפה $u = x^{- 2}$ , ובנוסף גם המשוואה הראשונה נובעת מהשלישית על ידי ההחלפה $z = \frac{1}{\sqrt{2}} \tan x$ .

אינטגרלים לא מסוימים

\int \frac{W (x)}{x} d x = \frac{W (x)^{2}}{2} + W (x) + C

הוכחה ראשונה

אם נציב את המשתנה $u = W (x) \to x = u e^{u} \frac{d}{d u} u e^{u} = (u + 1) e^{u}$ נקבל:

$\begin{aligned} \int \frac{W (x)}{x} d x & = \int \frac{u}{u e^{u}} (u + 1) e^{u} d u \\ = \int \frac{u}{u e^{u}} (u + 1) e^{u} d u \\ = \int (u + 1) d u \\ = \frac{u^{2}}{2} + u + C \\ u = W (x) \\ = \frac{W (x)^{2}}{2} + W (x) + C \end{aligned}$

הוכחה שנייה

$W (x) e^{W (x)} = x \to \frac{W (x)}{x} = e^{- W (x)}$

$\begin{aligned} \int \frac{W (x)}{x} d x & = \int e^{- W (x)} d x \\ u = W (x) \to x = u e^{u} \\ \frac{d}{d u} u e^{u} = (u + 1) e^{u} \\ = \int e^{- u} (u + 1) e^{u} d u \\ = \int e^{- u} (u + 1) e^{u} d u \\ = \int (u + 1) d u \\ = \frac{u^{2}}{2} u + C \\ = \frac{W (x)^{2}}{2} + W (x) + C \end{aligned}$

$\int W (A e^{B x}) d x = \frac{W {(A e^{B x})}^{2}}{2 B} + \frac{W (A e^{B x})}{B} + C$

הוכחה

$\int W (A e^{B x}) d x = \int W (A e^{B x}) d x$

u = B x \to \frac{u}{B} = x \frac{d}{d u} \frac{u}{B} = \frac{1}{B}

$\int W (A e^{B x}) d x = \int W (A e^{u}) \frac{1}{B} d u$

v = e^{u} \to \ln (v) = u \frac{d}{d v} \ln (v) = \frac{1}{v}

$\int W (A e^{B x}) d x = \frac{1}{B} \int \frac{W (A v)}{v} d v$

w = A v \to \frac{w}{A} = v \frac{d}{d w} \frac{w}{A} = \frac{1}{A}

$\int W (A e^{B x}) d x = \frac{1}{B} \int \frac{A W (w)}{w} \frac{1}{A} d w$

t = W (w) \to t e^{t} = w \frac{d}{d t} t e^{t} = (t + 1) e^{t}

$\int W (A e^{B x}) d x = \frac{1}{B} \int \frac{t}{t e^{t}} (t + 1) e^{t} d t$

$\int W (A e^{B x}) d x = \frac{1}{B} \int t + 1 d t$

$\int W (A e^{B x}) d x = \frac{t^{2}}{2 B} + \frac{t}{B} + C$

t = W (w)

$\int W (A e^{B x}) d x = \frac{W {(w)}^{2}}{2 B} + \frac{W (w)}{B} + C$

w = A v

$\int W (A e^{B x}) d x = \frac{W {(A v)}^{2}}{2 B} + \frac{W (A v)}{B} + C$

v = e^{u}

$\int W (A e^{B x}) d x = \frac{W {(A e^{u})}^{2}}{2 B} + \frac{W (A e^{u})}{B} + C$

u = B x

$\int W (A e^{B x}) d x = \frac{W {(A e^{B x})}^{2}}{2 B} + \frac{W (A e^{B x})}{B} + C$

\int \frac{W (x)}{x^{2}} d x = Ei (- W (x)) - e^{- W (x)} + C

הוכחה

אם נציב את המשתנה $u = W (x) \to x = u e^{u} \frac{d}{d u} u e^{u} = (u + 1) e^{u}$ נקבל:

$\begin{aligned} \int \frac{W (x)}{x^{2}} d x & = \int \frac{u}{{(u e^{u})}^{2}} (u + 1) e^{u} d u \\ = \int \frac{u + 1}{u e^{u}} d u \\ = \int \frac{u}{u e^{u}} d u + \int \frac{1}{u e^{u}} d u \\ = \int e^{- u} d u + \int \frac{e^{- u}}{u} d u \end{aligned}$

v = - u \to - v = u \frac{d}{d v} - v = - 1

$\int \frac{W (x)}{x^{2}} d x = \int e^{v} (- 1) d v + \int \frac{e^{- u}}{u} d u$

$\int \frac{W (x)}{x^{2}} d x = - e^{v} + Ei (- u) + C$

v = - u

$\int \frac{W (x)}{x^{2}} d x = - e^{- u} + Ei (- u) + C$

u = W (x)

$\begin{aligned} \int \frac{W (x)}{x^{2}} d x & = - e^{- W (x)} + Ei (- W (x)) + C \\ = Ei (- W (x)) - e^{- W (x)} + C \end{aligned}$

ערכים מיוחדים

עבור כל $x$ מספר אלגברי השונה מ-0, מתקיים כי $W (x)$ הוא מספר טרנסצנדנטי. אם $W (x)$ הוא 0, אז $x$ חייב להיות גם הוא 0, ואם $W (x)$ הוא מספר לא אלגברי שונה מאפס, אז לפי משפט לינדמן-ויירשטראס, $e^{W (x)}$ חייב להיות מספר טרנסצנדנטי, ולכן $x = W (x) e^{W (x)}$ חייב להיות גם הוא מספר טרנסצנדנטי.

למטה מובאים ערכים מיוחדים של הענף הראשי ( $W_{0}$ ):

$W_{0} (- \frac{π}{2}) = \frac{i π}{2}$
$W_{0} (- \frac{1}{e}) = - 1$
$W_{0} (2 \ln 2) = \ln 2$
$W_{0} (0) = 0$
$W_{0} (1) = Ω = {(\int_{- \infty}^{\infty} \frac{d t}{(e^{t} - t)^{2} + π^{2}})}^{- 1} \approx 0.56714329$ (קבוע אומגה)
$W_{0} (1) = e^{- W (1)} = \ln (\frac{1}{W (1)}) = - \ln W (1)$
$W (e) = 1$
$W (e^{1 + e}) = e$

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא פונקציית W של למברט בוויקישיתוף המזהה לא מולא ולא נמצא בוויקינתונים, נא למלא את הפרמטר.

הערות שוליים

^ Timothy Y. Chow, What Is a Closed-Form Number?, The American Mathematical Monthly, ‏1999
^ Finch, S. R., Mathematical constants, Cambridge University Press, 2003, עמ' 450
^ Mező, István, An integral representation for the principal branch of the Lambert W function
^ Mező, István, An integral representation for the Lambert W function, ‏2020
^ Kalugin, German A.; Jeffrey, David J.; Corless, Robert M., Stieltjes, Poisson and other integral representations for functions of Lambert W, ‏2011
^ The Lambert W Function, Ontario Research Centre for Computer Algebra
^ Dubinov, A. E.; Dubinova, I. D.; Saǐkov, S. K., The Lambert W Function and Its Applications to Mathematical Problems of Physics, 2006, עמ' 53. (ברוסית)
^ Robert M., Corless; David J., Jeffrey; Donald E., Knuth, A sequence of series for the Lambert W function (עמ' 197-204), ‏יולי 1997

[1] Timothy Y. Chow, What Is a Closed-Form Number?, The American Mathematical Monthly, ‏1999

[2] Finch, S. R., Mathematical constants, Cambridge University Press, 2003, עמ' 450

[3] Mező, István, An integral representation for the principal branch of the Lambert W function

[4] Mező, István, An integral representation for the Lambert W function, ‏2020

[5] Kalugin, German A.; Jeffrey, David J.; Corless, Robert M., Stieltjes, Poisson and other integral representations for functions of Lambert W, ‏2011

[6] The Lambert W Function, Ontario Research Centre for Computer Algebra

[7] Dubinov, A. E.; Dubinova, I. D.; Saǐkov, S. K., The Lambert W Function and Its Applications to Mathematical Problems of Physics, 2006, עמ' 53. (ברוסית)

[8] Robert M., Corless; David J., Jeffrey; Donald E., Knuth, A sequence of series for the Lambert W function (עמ' 197-204), ‏יולי 1997

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]