פונקציה תת-ליניארית

באלגברה ליניארית ובאנליזה פונקציונלית, פונקציה תת-ליניארית (נקראת גם פונקציונל תת-ליניארי) היא פונקציונל על מרחב וקטורי מעל שדה הממשיים או שדה המרוכבים, אשר מקיים תת-חיבוריות והומוגניות חיובית. פונקציות מסוג זה הן גרסה מוחלשת של נורמה ונורמה-למחצה מחד ופונקציה ליניארית מאידך.

שימושם העיקרי של פונקציונלים תת-ליניאריים בא לידי ביטוי במשפט האן-בנך. כמו כן ניתן להשתמש בפונקציונלים אלה במקרים שבהם מרחב כלשהו אינו נורמבילי, כלומר שלא ניתן להגדיר עליו נורמה.

הגדרה מתמטית

עבור מרחב וקטורי $V$ מעל שדה $\mathbb{𝕂}$ שהוא שדה הממשיים או המרוכבים, הפונקציונל $\rho :V\to \mathbb{ℝ}$ יקרא פונקציונל תת-ליניארי אם ורק אם הוא מקיים את שתי התכונות הבאות:

1. תת-חיבוריות (Subadditivity): לכל שני וקטורים $x,y\in V$ מתקיים $\rho (x+y)\le \rho (x)+\rho (y)$
2. הומוגניות חיובית (Positive homogeneity): לכל וקטור $x\in V$ במרחב ולכל סקלר אי-שלילי $\lambda \ge 0$ מתקיים $\rho (\lambda x)=\lambda \rho (x)$.

תנאי התת-חיבוריות הוא למעשה קיום אי-שוויון המשולש של הפונקציונל.

תכונות

ערך בראשית והכפלה בסקלר שלילי

מתוך תכונת ההומוגניות החיובית ניתן להסיק כי כל פונקציונל תת-ליניארי מתאפס בראשית, כלומר $\rho (0)=0$, זאת על ידי הכפלת כל איבר כלשהו ב-$V$ בסקלר $0$.

מאחר שתכונת ההומוגניות החיובית אינה נוגעת להכפלה בסקלר שלילי, לא ניתן להסיק כי $\rho (-x)$ משתווה ל-$\rho (x)$ עבור $x\in V$ כלשהי כפי שתכונה זו מתקיימת עבור נורמה ונורמה-למחצה. לעומת זאת, מתכונת התת-חיבוריות ניתן להסיק כי:

$0=\rho (0)=\rho (x+(-x))\le \rho (x)+\rho (-x)$

כלומר, ניתן להסיק שלפחות אחד מ-$\rho (-x)$ ו-$\rho (x)$ הוא חיובי.

אריתמטיקה

עבור פונקציונל תת-ליניארי $\rho$ מעל $V$ וסקלר אי-שלילי $\alpha \ge 0$ הפונקציונל $\alpha \rho$ הוא תת-ליניארי. הדבר איננו מתקיים עבור $\alpha <0$.

כמו כן, עבור זוג פונקציונלים תת-ליניאריים ${\rho }_1,{\rho }_2$ מעל $V$ הפונקציונל ${\rho }_1+{\rho }_2$ אף הוא תת-ליניארי. הדבר איננו מתקיים בהכרח עבור ${\rho }_1-{\rho }_2$.

בנוסף, עבור זוג פונקציונלים תת-ליניאריים ${\rho }_1,{\rho }_2$ מעל $V$ הפונקציונל $q:=\max ({\rho }_1,{\rho }_2)$ אף הוא תת-ליניארי. כלומר לכל $x\in V$:

$q(x):=\max ({\rho }_1(x),{\rho }_2(x))$

קמירות

כל פונקציה תת-ליניארית היא בהכרח פונקציה קמורה. ניתן להוכיח זאת מתוך ההגדרה:

עבור $x,y\in V$ ו-$0\le t\le 1$ מתקיים:

$\rho (tx+(1-t)y)\le \rho (tx)+\rho ((1-t)y)=t\rho (x)+(1-t)\rho (y)$

כאשר אי השוויון משמאל מתקיים מתכונת התת-חיבוריות והשוויון מימין מתקיים בגלל הומוגניות חיובית.

כל פונקציה $p:V\to \mathbb{ℝ}$ שהיא תת-חיבורית (תנאי 1 בהגדרה), קמורה ומקיימת $p(0)\le 0$ היא בהכרח תת-ליניארית.

הוכחה

לכל $x\in V$ ולכל $0\le \lambda \le 1$ כלשהו ניתן להסיק מתכונת הקמירות כי:

$p(\lambda x)=p((1-\lambda )0+\lambda x)\le (1-\lambda )p(0)+\lambda p(x)\le \lambda p(x)$

מכיוון ש-$0\le 1-\lambda \le 1$ ניתן להסיק באותו אופן כי $p((1-\lambda )x)\le (1-\lambda )p(x)$.

כעת לפי תכונת התת-חיבוריות:

$p(x)=p((1-\lambda )x+\lambda x)\le p((1-\lambda )x)+p(\lambda x)\le (1-\lambda )p(x)+p(\lambda x)$

מהעברת אגפים נקבל כי $\lambda p(x)\le p(\lambda x)$.

מכיוון וגם $\lambda p(x)\le p(\lambda x)$ וגם $\lambda p(x)\ge p(\lambda x)$ בהכרח $p(\lambda x)=\lambda p(x)$ ועל כן מתקיימת הומגוניות עבור $0\le \lambda \le 1$. עבור $\lambda \ge 1$ מתקיים כי $0\le \frac{1}{\lambda }\le 1$ ולכן:

$p(x)=p(\frac{1}{\lambda }\lambda x)=\frac{1}{\lambda }p(\lambda x)$

משמע $p(\lambda x)=\lambda p(x)$ גם עבור $\lambda \ge 1$. מכל זה נגזרת הומגוניות-חיובית עבור $p$. מאחר ש-$p$ תת-חיבורית והומוגנית חיובית היא בהכרח תת-ליניארית. מש"ל.

רציפות

אם מרחב התחום $V$ של פונקציה תת-ליניארית $\rho$ הוא מרחב וקטורי טופולוגי (כלומר שהוא מצויד בטופולוגיה שעבורה פעולות החיבור והכפל בסקלר רציפות), ניתן לקבוע האם $\rho$ רציפה על-פי הטופולוגיה של המרחב.

ניתן להוכיח כי אם $\rho$ רציפה בראשית אז היא רציפה בכל המרחב, ויתרה מכך היא גם רציפה במידה שווה (כפי שתכונה זו מוגדרת לחבורות טופולוגיות, ובפרט למרחבים וקטוריים טופולוגיים). בפרט, כל פונקציונל תת-ליניארי רציף הוא רציף במידה שווה.

הוכחה

עבור $\epsilon >0$ קיימת סביב פתוחה $U$ של הראשית כך ש-$|\rho (v)|<\epsilon$ לכל $v\in U$. ניתן להגדיר קבוצה פתוחה חדשה $U^{\prime }=U\cap (-U)$ שאף היא סביב פתוחה של הראשית וסימטרית (כלומר לכל $v\in U$ מתקיים $-v\in U$)

עבור $x,y\in V$ כך ש-$x-y\in U^{\prime }$ מתקיים:

$\rho (x)=\rho (x-y+y)\le \rho (x-y)+\rho (y)<\epsilon +\rho (y)$

לכן $\rho (x)-\rho (y)<\epsilon$. מכיוון שגם $y-x\in U^{\prime }$ ניתן להסיק שגם $\rho (y)-\rho (x)<\epsilon$ לכן בסך הכל $|\rho (x)-\rho (y)|<\epsilon$.

מתקבל כי לכל $\epsilon >0$ קיימת סביבה פתוחה $U^{\prime }$ כך שלכל $x,y\in V$ עבורם $x-y\in U^{\prime }$ מתקיים $|\rho (x)-\rho (y)|<\epsilon$. מכל זה $\rho$ רציפה במידה שווה. מש"ל.

מקרים פרטיים

פונקציה ליניארית

ערך מורחב – פונקציה ליניארית

כל פונקציה ליניארית היא גם פונקציה תת-ליניארית (מחליפים את האי-שוויון בתנאי התת-חיבוריות לשוויון).

אם מגדירים ב-$V^{\mathrm{\#}}$ את קבוצת כל הפונקציונלים התת-ליניאריים על מרחב וקטורי $V$ כלשהו, ניתן להגדיר על מרחב זה יחס סדר חלקי $⪯$ כך שלכל ${\rho }_1,{\rho }_2\in V^{\mathrm{\#}}$, ${\rho }_1⪯{\rho }_2$ אם ורק אם ${\rho }_1(x)\le {\rho }_2(x)$ לכל $x\in V$ (סימון זה אינו סימון מוסכם בספרות ומשמש לערך זה בלבד).

על כן, בהינתן פונקציה תת-ליניארית $\rho$ מעל מרחב $V$ כלשהו, התנאים הבאים שקולים:

1. $\rho$ היא פונקציה ליניארית.
2. $\rho$ היא פונקציה אי-זוגית. כלומר, $\rho (-x)=-\rho (x)$ לכל $x\in V$.
3. $\rho$ היא פונקציה תת-ליניארית מינימלית תחת היחס $⪯$.

מעובדה זאת נגזרת משמעות נוספת והיא שבהינתן פונקציונל תת-ליניארי כלשהו $\rho$ מעל מרחב $V$ ניתן למצוא פונקציה ליניארית $f:V\to \mathbb{ℝ}$ כך ש-$f(x)\le \rho (x)$ לכל $x\in V$.

נורמה-למחצה

ערך מורחב – נורמה-למחצה

עבור מרחב וקטורי $V$ מעל שדה $\mathbb{𝕂}$ (שהוא שדה הממשיים או המרוכבים) פונקציה $\rho :V\to \mathbb{ℝ}$ תקרא נורמה-למחצה אם ורק אם מתקיימים התנאים הבאים:

1. $\rho$ היא תת-חיבורית.
2. $\rho$ הומוגנית בהחלט (Absolute homogeneity). כלומר, לכל וקטור $x\in V$ במרחב ולכל סקלר $\lambda \in \mathbb{𝕂}$ מתקיים $\rho (\lambda x)=|\lambda |\rho (x)$.

כמובן שכל פונקציה הומוגנית בהחלט היא הומוגנית חיובית, לכן כל נורמה למחצה היא פונקציה תת-ליניארית.

כל נורמה למחצה היא פונקציה זוגית. כלומר, $\rho (-x)=\rho (x)$ לכל $x\in V$. אם $\mathbb{𝕂}=\mathbb{ℝ}$ (שדה הממשיים), פונקציה תת-ליניארית $\rho$ היא נורמה למחצה אם ורק אם היא זוגית.

מכיוון שכל נורמה למחצה היא זוגית, ושלפחות אחד מ-$\rho (-x)$ ו-$\rho (x)$ הוא חיובי, ניתן להסיק כי כל נורמה למחצה היא פונקציה חיובית. כלומר, לכל $x\in V$ מתקיים ש-$\rho (x)\ge 0$.

בהינתן פונקציה תת-ליניארית $\rho$ כלשהי, ניתן לבנות ממנה נורמה-למחצה $q:V\to \mathbb{ℝ}$ כך שלכל $x\in V$:

$q(x):=\max (\rho (x),\rho (-x))$

נורמה למחצה זו תקרא הנורמה-למחצה המשויכת ל-$\rho$.

לנורמות למחצה חשיבות רבה בבניית מרחבים וקטוריים טופולוגיים קמורים מקומית, אשר מהווים הכללה למרחבים נורמביליים.

נורמה

ערך מורחב – נורמה (אנליזה)

$\rho$ תקרא נורמה אם ורק אם היא נורמה-למחצה ובנוסף מקיימת חיוביות בהחלט (positive definite). כלומר, אם $\rho (x)=0$ בהכרח $x=0$. כל נורמה היא נורמה למחצה, אך ההפך אינו בהכרח נכון.

לנורמות חשיבות מכרעת באנליזה ובפיזיקה והן מהוות הבסיס למרחבי הילברט ומרחבי בנך.

דוגמאות

• כל נורמה ונורמה-למחצה היא פונקציונל תת-ליניארי.
• פונקציית האפס $\rho (x)=0,\mathrm{\forall }x\in V$ היא פונקציונל תת-ליניארי.
• כל פונקציונל ליניארי על שדה $V$ מעל הממשיים או המרוכבים הוא פונקציונל תת-ליניארי. הדבר נכון בפרט לפונקציית הזהות מ-$\mathbb{ℝ}$ לעצמו.
• הפונקציה $\rho :\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ}$ מהצורה $\rho (x)=\{\begin{array}{ll}ax,& x\le 0\\ bx,& \text{otherwise}\end{array}$ כאשר $a\le b$ היא פונקציונל תת-ליניארי.