הפונקציה הריקה

במתמטיקה, הפונקציה הריקה היא פונקציה שהתחום שלה הוא הקבוצה הריקה. לכל קבוצה $A$ יש בדיוק פונקציה ריקה אחת $f_A:\mathrm{\varnothing }\to A$. בשפת תורת הקטגוריות, עובדה זו משמעה שהקבוצה הריקה היא אובייקט התחלתי בקטגוריית הקבוצות $\mathbf{S}\mathbf{e}\mathbf{t}\mathbf{s}$.

הפונקציה הריקה לא מקבלת ערכים כלל – הגרף שלה הוא הקבוצה הריקה. היא מוגדרת היטב כפונקציה: התנאי, שלכל $x\in \mathrm{\varnothing }$ מתאים $f_A(x)\in A$ יחיד, מתקיים באופן ריק. לעומת זאת, פונקציה $g:A\to \mathrm{\varnothing }$ לעולם אינה קיימת, למעט במקרה $A=\mathrm{\varnothing }$, אז $g=f_{\mathrm{\varnothing }}$.

הפונקציה הריקה היא פונקציה חד-חד-ערכית וקבועה באופן ריק. היא על רק במקרה $A=\mathrm{\varnothing }$.

קיומה של הפונקציה הריקה מצדיק את הטענה ש-$|A{|}^0=1$ לכל עוצמה $|A|$. זאת מכיוון, שלפי ההגדרה:

$|A{|}^0=|\{f\mid f:\mathrm{\varnothing }\to A\}|=|\{f_A\}|=1$

טענה זו שקולה לטענה שמכפלה ריקה שווה ל-1.

בין קבוצות $A,B$ קיימת פונקציה חלקית ריקה יחידה; כלומר, פונקציה חלקית $f:A\to B$, שהגרף שלה ריק.

בתורת הקטגוריות, העובדה שלכל קבוצה יש פונקציה ריקה אחת פונה לכך שהקבוצה הריקה מהווה אובייקט התחלתי בקטגוריית הקבוצות, כלומר, ישנה פונקציה יחידה מהקבוצה הריקה לכל קבוצה אחרת.