עקמומיות ממוצעת

במתמטיקה, העקמומיות הממוצעת (באנגלית: Mean curvature) היא מדד חיצוני לעקמומיות מתחום הגאומטריה הדיפרנציאלית אשר מתאר מקומית את העקמומיות של משטח משוכן במרחב משכן כלשהו כדוגמת המרחב האוקלידי.

במונח נעשה שימוש בידי סופי ז'רמן במסגרת עבודתה על תורת האלסטיות. Jean Baptiste Marie Meusnier עשה בו שימוש ב-1776, במחקריו על משטחים מינימליים. המונח חשוב באנליזה של משטחים מינימליים, להם עקמומיות ממוצעת קבועה אפס, ובניתוח של ממשקים פיזיקליים בין נוזלים (למשל, קרומי סבון), אשר, למשל, הם בעלי עקמומיות ממוצעת קבועה בזרימות סטטיות, בהתאם למשוואת יאנג-לפלס.

הגדרה

תהי $p$ נקודה על משטח $S$ . כל מישור שעובר דרך $p$ ומכיל את הנורמל ל- $S$ יחתוך את $S$ לאורך עקומה מישורית. התאמה של וקטור יחידה נורמלי לכל נקודה בעקומה המישורית מגדירה עקמומיות לעקומה הזאת. כאשר המישור הזה מסתובב בזווית $θ$ (כך שהוא תמיד מכיל את הנורמל למשטח), העקמומיות עשויה להשתנות. הערך המרבי $κ_{1}$ והערך המזערי $κ_{2}$ של העקמומיות מכונים ערכי העקמומיות הראשיים של $S$ .

העקמומיות הממוצעת ב- $p \in S$ מוגדרת כממוצע של כל ערכי העקמומיות של עקומות מישוריות שנחתכות מן המשטח על ידי מישורים בזוויות $θ$ שונות:

H = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} κ (θ) d θ

.

אלא שלפי משפט אוילר בגאומטריה דיפרנציאלית: $κ_{θ} = k_{1} \cos^{2} θ + k_{2} \sin^{2} θ$ , כך שמהעובדה שהממוצע של $\sin^{2} θ$ על פני מחזור שלם הוא 1/2, נקבל:

H = \frac{1}{2} (κ_{1} + κ_{2}) .

.

באופן כללי יותר, בעבור על-משטח $T$ העקמומיות הממוצעת נתונה בנוסחה:

H = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} κ_{i} .

באופן מופשט יותר ניתן לומר שהעקמומיות הממוצעת היא העקבה של התבנית היסודית השנייה חלקי n.

משטח נתון הוא משטח מינימלי אם ורק אם העקמומיות הממוצעת שלו מתאפסת בכל נקודה.

העקומיות הממוצעת וקצב גידול שטח היריעה

העקומיות הממוצעת קובעת את קצב גידול שטח היריעה תחת הזזה של כל נקודה על פני היריעה בכוון מאונך, בקצב אחיד. יריעה מישורית היא דוגמה טריויאלית: השטח של יריעה מישורית אינו גדל תחת הזזה בכוון מאונך בהלימה עם התאפסות העקומיות הממוצעת של היריעה. הדוגמה הבסיסית שאינה טרויואלית היא יריעה כדורית. שטח של יריעה כדורית ברדיוס $r$ הוא כידוע $A = 4 π r^{2}$ . ניפוח היריעה בכוון רדיאלי בקצב $v = \dot{r}$ מביא להתפשטות השטח בקצב

$\dot{A} = 8 π r \dot{r} = 2 \frac{A}{r} \dot{r} = 2 H A v$

עבור יריעה כללית, כאשר העקומיות הממוצעת אינה בהכרח קבועה של פני היריעה מתקיימת הכללה של הנוסחה ליריעה כדורית^[1]

$\dot{A} = 2 v \int H d A$

ראו גם

עקמומיות גאוס

קישורים חיצוניים

String Module Error: Target string is empty.html עקמומיות ממוצעת, באתר MathWorld (באנגלית) המזהה לא מולא ולא נמצא בוויקינתונים, נא למלא את הפרמטר.

הערות שוליים

^ Manfredo Perdigão do Carmo, Differential geometry of curves & surfaces, Revised & updated second edition, Mineola, New York: Dover Publications, INC, 2018, ISBN 978-0-486-80699-0

[1] Manfredo Perdigão do Carmo, Differential geometry of curves & surfaces, Revised & updated second edition, Mineola, New York: Dover Publications, INC, 2018, ISBN 978-0-486-80699-0

[1]