סימן לוי-צ'יוויטה

במתמטיקה ובפיזיקה, סימן לֵוִי־צִ'יוִיטָה (באנגלית: Levi-Civita symbol, על שמו של המתמטיקאי טוליו לוי-צ'יוויטה) הוא פונקציה אנטי־סימטרית על אינדקסים. סימן לוי־צ'יוויטה מסומן באות היוונית אפסילון (ε), ומאפשר במקרים מסוימים לקצר את רישומן של פעולות על וקטורים ועל טנזורים.

הגדרה

סימן לוי-צ'יוויטה הבסיסי מוגדר לשלשה של אינדקסים $(i, j, k)$ באופן הבא:

ϵ_{i j k} = {\begin{cases} + 1, & (i, j, k) is (1, 2, 3), (2, 3, 1) or (3, 1, 2) \\ - 1, & (i, j, k) is (3, 2, 1), (1, 3, 2) or (2, 1, 3) \\ 0, & otherwise: i = j or j = k or k = i \end{cases}

תכונות והכללה

סימן לוי־צ'יוויטה מתאר את זוגיות התמורה $(1, 2, 3) \mapsto (i, j, k)$ : הוא שווה ל־(‎+1) אם התמורה זוגית, ל־(‎-1) אם התמורה אי־זוגית, ול־0 אם לפחות שניים מהאינדקסים זהים (כלומר, הפונקציה איננה תמורה).

מתיאור זה נובעת הכללה של סימן לוי־צ'יוויטה לכל n-יה סדורה של אינדקסים (אם $n > 3$ ):

הוא שווה ל־(‎+1) אם האינדקסים הם תמורה זוגית של $(1, 2, 3, \dots, n)$ .
הוא שווה ל־(‎-1) אם האינדקסים הם תמורה אי-זוגית של $(1, 2, 3, \dots, n)$ .
הוא שווה ל־0 אם יש לפחות שני אינדקסים זהים.

זהויות

עבור $n = 3$ , סימן לוי-צ'יוויטה מקיים מספר זהויות ראויות לציון עם הדלתא של קרונקר:

$\sum_{i = 1}^{3} ϵ_{i j k} ϵ_{i m n} = δ_{j m} δ_{k n} - δ_{j n} δ_{k m}$
$\sum_{i, j = 1}^{3} ϵ_{i j k} ϵ_{i j n} = 2 δ_{k n}$

ולכל מספר של אינדקסים, מתקיים

$\sum_{i, j, k, \dots = 1}^{n} ϵ_{i j k \dots} ϵ_{i j k \dots} = n!$

שימושים

באנליזה וקטורית במרחב תלת-ממדי, משמש סימן לוי־צ'יוויטה להגדרת מכפלה וקטורית:

a \times b = | \begin{matrix} e_{1} & e_{2} & e_{3} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{matrix} | = \sum_{i, j, k = 1}^{3} ϵ_{i j k} e_{i} a_{j} b_{k}

ביתר פשטות, אם $a \times b = c$ , אז

c_{i} = \sum_{j, k = 1}^{3} ϵ_{i j k} a_{j} b_{k}

או בכתיב מקוצר, לפי הסכם הסכימה של איינשטיין:

{(a \times b)}_{i} = ϵ_{i j k} a_{j} b_{k}

באופן דומה, אם מסמנים $(x, y, z) = (x_{1}, x_{2}, x_{3})$ , אפשר להגדיר בעזרת סימן לוי־צ'יוויטה את הרוטור:

{(curl a)}_{i} = {(\nabla \times a)}_{i} = \sum_{j, k = 1}^{3} ϵ_{i j k} \frac{\partial a_{k}}{\partial x_{j}}

ראו גם

קישורים חיצוניים

String Module Error: Target string is empty.html סימן לוי-צ'יוויטה, באתר MathWorld (באנגלית) המזהה לא מולא ולא נמצא בוויקינתונים, נא למלא את הפרמטר.