סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת

סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת היא מקרה פרטי של הסדרה ההנדסית, בו מנת הסדרה $q$ מקיימת $|q|<1$. סדרה הנדסית שלא מקיימת תנאי זה היא סדרה מתבדרת.

סכום סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת הוא:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n=\frac{a_1}{1-q}$

הוכחת נוסחת סכום הסדרה ההנדסית האינסופית

תרשים להמחשת סכום הסדרה ההנדסית $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots$ המתכנסת ל-2

נניח כי נתונה הסדרה ההנדסית האינסופית המתכנסת $\{a_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}=a_1,a_2,a_3,a_4,\dots$. על פי הגדרת הסדרה ההנדסית המתכנסת, מנת הסדרה מקיימת $|q|<1$ ולכן $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{q}^{n-1}=0$.

את סכום הסדרה ההנדסית המתכנסת מסמנים $S$ או לעיתים $S_{\mathrm{\infty }}$.

הסכום החלקי של סדרה הנדסית הוא:

$S_n=a_1\sum _{i=1}^n{q}^{i-1}$

ניתן לחשב אותו גם באמצעות הנוסחה:

$S_n=a_1\frac{q^n-1}{q-1}$.

משמעות העובדה שסכום הסדרה מתכנס היא שהגבול של הביטוי לסכום קיים. בניסוח אחר:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_1\frac{q^n-1}{q-1}=a_1\frac{\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}(q^n-1)}{\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}(q-1)}=a_1\frac{0-1}{q-1}=\frac{a_1}{1-q}$

ניתן לראות זאת גם בדוגמה מספרית. סכום הסדרה המקיימת $a_1=1,q=0.5$ מתכנס ל-2 לפי החישוב הבא:

$S=\frac{1}{1-0.5}=\frac{1}{0.5}=2$.

ראו גם

• סדרה הנדסית
• טור הנדסי

קישורים חיצוניים

• גדי אלכסנדרוביץ', מהו גבול? (של סדרה), באתר "לא מדויק", 3 באוקטובר 2010