סדרה הנדסית

במתמטיקה, סדרה הנדסית או סדרה גאומטרית היא סדרה של מספרים, כך שהיחס בין כל שני איברים סמוכים הוא קבוע. במילים אחרות, ניתן לחשב כל איבר בסדרה על ידי הכפלת האיבר הקודם לו במספר קבוע $q$ (היחס בין האיברים; נקרא גם מנת הסדרה). סדרה הנדסית קרויה כך, משום שכל איבר בה הוא הממוצע ההנדסי של האיבר הקודם לו והאיבר העוקב לו.

הסבר כללי

מקובל לסמן את האיבר במקום ה-$n$ בצורה $a_n$ (את האות $a$ עשויה להחליף אות אחרת). אם האיבר הראשון ידוע (מסומן $a_1$) ומנת הסדרה (הקבועה לכל אורכה; מקובל לסמן אותה באות $q$), אז ערכו של האיבר במקום ה-$n$ נתון בנוסחה: $$\begin{gathered} a_n=a_1\cdot q^{n-1}=a_1\cdot \underset{n-1 \\ \mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}}{\underbrace{q\cdot q\cdot \cdots \cdot q}} \end{gathered}$$

הגדרה פורמלית

האיבר הכללי

תהי סדרה $\{a_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$. נאמר שהסדרה הנדסית, אם קיים $q$ כך שלכל $n\ge 1$,

$a_{n+1}=q\cdot a_n$

מההגדרה נובע כי ניתן לאפיין כל סדרה הנדסית בעזרת שני ערכים:

• $a_1$ – האיבר הראשון בסדרה
• $q$ – מנת הסדרה

במילים אחרות, הסדרה מוגדרת על ידי נוסחת נסיגה, $a_{n+1}=q\cdot a_n$, עם ערך התחלתי $a_1$.

ההגדרה לפי נוסחת הנסיגה שקולה להגדרה לפי הנוסחה לאיבר כללי בסדרה: $$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$$

סכום סדרה הנדסית

מקובל לסמן את סכום האיברים בסדרה הנדסית כלשהי כך:

$S=a_1\sum _{n=N_1}^{N_2}{q}^{n-1}$

כאשר $N_1$ ו־$N_2$ הם הגבולות הרצויים.

מקרה פרטי הוא סכימה מהאיבר במקום ה-1 ועד האיבר במקום ה-$n$ (ועד בכלל). מקובל לסמן סכום זה בביטוי $S_n$, ניתן לחשב את הסכום ישירות, על ידי חיבור כל הערכים:

$S_n=a_1\sum _{i=1}^n{q}^{i-1}$

עבור המקרה הכללי:

$S=a_1\left(\frac{q^{N_1-1}-q^{N_2}}{1-q}\right)$

ועבור המקרה הפרטי של סכימה מהאיבר הראשון עד האיבר ה־n:

$S_n=a_1\frac{q^n-1}{q-1}$

למשל, סדרה הנדסית סופית שמנתה היא 3, האיבר הראשון שלה הוא 2, ומספר איבריה הוא 5. בפירוש:

$162,54,18,6,2$.

ניתן לסכום את הסדרה בפירוש,

$2+6+18+54+162=242$

הנוסחות שמופיעה לעיל נותנות את אותו סכום, ללא סכימה מפורשת:

לפי הנוסחה הכללית:

$S_n=2\cdot \sum _{n=1}^5{3}^{n-1}=2\cdot \frac{3^{1-1}-3^5}{1-3}=2\cdot \frac{1-243}{-2}=242$

לפי הנוסחה הפרטית:

$S_n=a_1\frac{q^n-1}{q-1}=2\cdot \frac{3^5-1}{3-1}=2\cdot \frac{243-1}{2}=242$

חשיבותה של הנוסחה מתבררת כאשר מעוניינים לסכום עד $n$ גדול. במקרה כזה, סכימה ידנית עשויה להיות מייגעת, ואילו הזמן שלוקח לחשב את הנוסחה הוא בערך קבוע.

הוכחת הנוסחה

על פי הגדרת הסדרה ההנדסית:

$\begin{array}{rl}{S}_n& =a_1+a_2+...+a_n\\ & =a_1+a_{1}q+a_1{q}^2+...+a_1{q}^{n-1}\end{array}$

הוספת האיבר הבא בסדרה נותנת את הסכום הבא בתור:

$\begin{array}{rl}{S}_{n+1}& =a_1+a_{1}q+a_1{q}^2+...+a_1{q}^{n-1}+a_1{q}^n\\ & =(a_1+a_{1}q+a_1{q}^2+...+a_1{q}^{n-1})+a_1{q}^n\\ & =S_n+a_1{q}^n\end{array}$

ואחרי סידור חדש, מתקבל

$S_{n+1}-S_n=a_1{q}^n(1)$

מצד שני,

$\begin{array}{rl}{S}_{n+1}& =a_1+a_{1}q+a_1{q}^2+\cdots +a_1{q}^n\\ & =a_1+q(a_1+a_{1}q+a_1{q}^2+...+a_1{q}^{n-1})\\ & =a_1+q\cdot S_n\end{array}$

לכן:

$\begin{array}{rl}{S}_{n+1}-S_n& =a_1+q{S}_n-S_n\\ & =a_1+S_n(q-1)\end{array}$

הצבה של משוואה $(1)$ נותנת:

$\begin{array}{rl}{a}_1+S_n(q-1)& =a_1{q}^n\\ S_n(q-1)& =a_1{q}^n-a_1\\ S_n(q-1)& =a_1(q^n-1)\end{array}$

כדי להימנע מחלוקה באפס, נחלק למקרים:

• אם $q=1$, הסדרה ההנדסית היא גם סדרה קבועה, שכל איבריה זהים, שכן 1 הוא איבר היחידה ביחס לפעולת הכפל. במקרה כזה נוסחת הסכום פשוטה לחישוב:

$S_n=n\cdot a_1$.

• אחרת, ניתן לחלק את האגף הימני והשמאלי ב־$(q-1)$, ותתקבל הנוסחה:

  $S_n=a_1\frac{q^n-1}{q-1}$

סימון חלופי

לעיתים מתחילים את אינדקס הספירה $n$ מ-0, ואז הנוסחה לאיבר כללי מקבלת את הצורה:

$a_n=a_0\cdot q^n$

והנוסחה לסכום החלקי היא:

$S_n=a_0\sum _{i=0}^n{q}^i=a_0\frac{q^{n+1}-1}{q-1}$

עבור המקרה הכללי:

$S=a_0\left(\frac{q^{N_1}-q^{N_2+1}}{1-q}\right)$

התכנסות טורים הנדסיים

ערך מורחב – סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת

מנוסחת סכום סדרה הנדסית ניתן לראות, שאם $|q|<1$, גם אם מספר האיברים שואף לאינסוף (סוכמים "אינסוף איברים"), סכום הסדרה יהיה סופי (כלומר, מתכנס למספר מסוים), כיוון ש-$q^n\to 0$.

לכן, סכום הטור האינסופי מוגדר להיות גבול סדרת הסכומים החלקיים, והוא

$S_{\mathrm{\infty }}:=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{a_1}{1-q}$.

אם הגבול של סכום סדרה אינסופית קיים, אז הסכום נקרא טור מתכנס. בפרט, להתכנסות של הטור ההנדסי חשיבות רבה, שכן קיימים מבחני התכנסות לטורים אשר מתבססים על היכולת להשוות את הטור האינסופי שהתכנסותו נבדקת לטור הנדסי.

ראו גם

• סדרה (מתמטיקה)
• סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת
• סדרה חשבונית
• טור (מתמטיקה)
• נוסחת נסיגה
• התפלגות גאומטרית

קישורים חיצוניים

• מחשבון סכום של סדרה הנדסית, באתר icalc
• סדרה הנדסית, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)
• .html סדרה הנדסית, באתר MathWorld (באנגלית)