התפלגות ברנולי

בסטטיסטיקה ובתורת ההסתברות, התפלגות ברנולי, על שם המתמטיקאי השווייצרי יאקוב ברנולי, היא התפלגות בדידה של משתנה מקרי המקבל ערך $X=1$ או ערך $X=0$ בהסתברות $\mathrm{Pr}(X=1)=p$ ו-$\mathrm{Pr}(X=0)=1-p$. מקרה פרטי של התפלגות זו מתאים לתיאור מערכות בהן יש שני מצבים – הצלחה או כישלון. במקרה זה מקובל לסמן את ההסתברות להצלחה באות p, ואת ההסתברות המשלימה ב-$q$ (כלומר: $q=1-p$).

התפלגות ברנולי

מאפיינים
פרמטרים	$0\le p\le 1$ – ההסתברות ל"הצלחה" $q=1-p$
תומך	$k\in \{0,1\}$
פונקציית הסתברות (pmf)	$\{\begin{array}{ll}q=1-p,& k=0\\ p,& k=1\end{array}$$p^k{q}^{1-k}$
פונקציית ההסתברות המצטברת (cdf)	$\{\begin{array}{ll}0,& k<0\\ 1-p,& 0\le k<1\\ 1,& k\ge 1\end{array}$
תוחלת	$p$
סטיית תקן	$\sqrt{p\cdot (1-p)}=\sqrt{p\cdot q}$
חציון	$\{\begin{array}{ll}0& \text{if }p<1/2\\ [0,1]& \text{if }p=1/2\\ 1& \text{if }p>1/2\end{array}$
ערך שכיח	$\{\begin{array}{ll}0& \text{if }p<1/2\\ 0,1& \text{if }p=1/2\\ 1& \text{if }p>1/2\end{array}$
שונות	$p\cdot (1-p)=pq$
אנטרופיה	$-q\ln q-p\ln p$
פונקציה יוצרת מומנטים (mgf)	$q+p{e}^t$
פונקציה אופיינית	$q+p{e}^{it}$
צידוד	$\frac{q-p}{\sqrt{p\cdot q}}$
גבנוניות	$\frac{1-6p\cdot q}{p\cdot q}$

למשל, בקובייה הוגנת ההסתברות לנפילה על $6$ היא$\frac{1}{6}$, ולפיכך ההסתברות המשלימה המתייחסת לכל שאר התוצאות (1,2,3,4,5) היא $\frac{5}{6}$. אם תסומן התוצאה $6$ כהצלחה וכל שאר התוצאות האחרות ככישלון, אז המשתנה המציין את המאורע המתאים הוא בעל התפלגות ברנולי עם פרמטר $p=\frac{1}{6}$.

את העובדה שלמשתנה מקרי $X$ יש התפלגות ברנולי מסמנים $$\begin{gathered} X\sim \\ \text{b}(p) \end{gathered}$$ (לעיתים $$\begin{gathered} X\sim \\ \text{Bernoulli}(p) \end{gathered}$$). והשונות שלו היא $\mathrm{Var}(X)=p\cdot (1-p)$. משתנה בעל התפלגות ברנולי מקיים את התכונה $X^n=X$ לכל $n$ (שהרי הערכים 0 ו־1 מקיימים שוויון זה), ומכאן שכל המומנטים של משתנה כזה שווים ל־$p$.

משתני ברנולי הם אבני הבניין של ההתפלגות הבינומית. סכום של $n$ משתני ברנולי בלתי תלויים בעלי הסתברות הצלחה p הוא בעל התפלגות בינומית כללית, $B(n,p)$ (ובפרט, ההתפלגות $B(1,p)$ היא התפלגות ברנולי).

תכונות

אם $X$ הוא משתנה מקרי המתפלג ברנולי, אזי:

$\mathrm{Pr}(X=1)=p=1-\mathrm{Pr}(X=0)=1-q.$

פונקציית הסתברות $f$ של התפלגות זו, עבור ערך אפשרי k היא:

$f(k;p)=\{\begin{array}{ll}p& \text{if }k=1,\\ q=1-p& \text{if }k=0.\end{array}$

צורה שקולה לביטוי זה היא:

$f(k;p)=p^k(1-p{)}^{1-k}\text{for }k\in \{0,1\}$

או:

$f(k;p)=pk+(1-p)(1-k)\text{for }k\in \{0,1\}.$

בצורה זו ניתן להבחין בדמיון הרב להתפלגות בינומית, אשר התפלגות ברנולי היא מקרה פרטי עבור $n=1$.

גבנוניות ההתפלגות שואפת לאינסוף עבור ערכים גבוהים או נמוכים של $p$. עבור ערכי $0\le p\le 1$ ההתפלגות יוצרת משפחה מעריכית ואומד הנראות המרבית של $p$ עבור מדגם מקרי הוא ממוצע הדגימה.

תוחלת

התוחלת של משתנה מקרי $X$ המתפלג ברנולי היא:

$\mathbb{𝔼}[X]=p$

זאת משום שעבור$X$ בו $\mathrm{Pr}(X=1)=p$ יחד עם $\mathrm{Pr}(X=0)=1-p$ מתקבל:

$\mathbb{𝔼}[X]=\mathrm{Pr}(X=1)\cdot 1+\mathrm{Pr}(X=0)\cdot 0:=p\cdot 1+(1-p)\cdot 0=p.$

שונות

השונות של משתנה מקרי $X$ המתפלג ברנולי היא:

$\mathrm{Var}[X]=pq=p(1-p)$

הוכחה

ראשית,

$\mathbb{𝔼}[X^2]=\mathrm{Pr}(X=1)\cdot 1^2+\mathrm{Pr}(X=0)\cdot 0^2=p\cdot 1^2+q\cdot 0^2=p$

ומכאן:

$\mathrm{Var}[X]=\mathbb{𝔼}[X^2]-\mathbb{𝔼}[X{]}^2=p-p^2=p(1-p)=pq$

כמובטח.

קישורים חיצוניים

• .html התפלגות ברנולי, באתר MathWorld (באנגלית)