נוסחת ציולקובסקי

נוסחת ציולקובסקי היא משוואה שפותחה על ידי מדען הטילים הרוסי קונסטנטין ציולקובסקי, ופורסמה בשנת 1903. הנוסחה מבטאת את מהירותו הסופית של טיל כפונקציה של גורמים שונים. הנוסחה המלאה נראית כך:

$v_{f} = v_{0} + v_{e} \ln \frac{m_{0}}{m_{f}}$

כאשר:

$v_{0}$ היא המהירות ההתחלתית של הטיל
$v_{e}$ היא מהירות הגזים הנפלטים מהטיל
$m_{0}$ המסה ההתחלתית של הטיל
$m_{f}$ המסה הסופית שלו

הנוסחה ונגזרותיה מאפשרים לחשב מהי כמות הדלק הנדרשת לטיל על מנת להשיג מהירות מסוימת ובעצם מאפשרת לדעת מה נדרש לטיל על מנת לעבור בין גרמי שמים כאשר מחשיבים בנוסף את השפעת כוחות המשיכה הפועלים על הטיל.

רקע היסטורי

משוואות ההנעה הרקטית פורסמו על ידי ציולקובסקי בשנת 1903, ובמשך שנים נחשב ציולקובסקי לראשון שהגה אותן. עם זאת, מחקר מעודכן יותר גילה חישובים דומים שנערכו בבריטניה בשנת 1813, לשם בחינת היעילות של רקטות קרקע-קרקע ששימשו למטרות לחימה. משוואות אלה הופיעו בחיבור מאת ויליאם מור (William Moore), שנקרא מסה על תנועת הרקטות (A Treatise on the Motion of Rockets).

שימוש בנוסחה

הנוסחה משמשת בפיתוח טילים רב־שלביים. בטילים אלו, כל שלב נושר לאחר שנגמר בו הדלק, והטיל יכול להמשיך ולהאיץ, עד להשגת המהירות הנדרשת לשם הגעה למסלול סביב הארץ או ליציאה משדה הכבידה של גרמי שמיים שונים. בעזרת הנוסחה ניתן לאמוד את המהירות שישיג הטיל בהינתן המהירות ההתחלתית והמסה בתחילת ובסוף כל שלב.

פיתוח ניוטוני

המהירות של גוף היא האינטגרל של התאוצה:

$v_{f} = v_{0} + \int_{0}^{t_{f}} a (t) d t$

לפי החוק השני של ניוטון:

$F = m (t) \cdot a (t)$

לכן:

$a (t) = \frac{F}{m (t)}$

וידוע לפי חוקי ניוטון ש:

$\frac{d p}{d t} = F$

$d p$ מציין מתקף.

נציב בנוסחה:

$a (t) = \frac{\frac{d p}{d t}}{m (t)}$

המתקף של גוף הוא השינוי בתנע:

$d p = m (v_{2} - v_{1})$

כאן $m$ מייצג את הדלק שנפלט מהטיל. $v_{1}$ שווה לאפס כי לפני שהדלק נפלט מהירותו הייתה שווה למהירות הטיל:

$v_{1} = 0$

$v_{2}$ הוא מהירות פליטת הדלק, נסמן:

$v_{2} = v_{e}$

$v_{2} - v_{1} = v_{e} - 0 = v_{e}$

$d m$ הוא דיפרנציאל המסה של הדלק שנפלט.

נציב:

$d p = d m \cdot v_{e}$

נציב בנוסחה של התאוצה:

$a (t) = \frac{\frac{d m \cdot v_{e}}{d t}}{m (t)}$

$a (t) = v_{e} \cdot \frac{\frac{d m}{d t}}{m (t)}$

$m (t) = m_{0} - (\frac{d m}{d t}) \cdot t$

כאשר $\frac{d m}{d t}$ הוא קצב הפליטה של הדלק.

נציב בנוסחה של התאוצה:

$a (t) = v_{e} \cdot \frac{\frac{d m}{d t}}{m_{0} - (\frac{d m}{d t}) \cdot t}$

לפי הנוסחה:

$\int_{}^{} \frac{k}{l - k x} d x = - \ln (l - k x) + C$ (כאשר $l > k x$ )

אם $k = \frac{d m}{d t}$

ואם $l = m_{0}$

ואם $x = t$

אז:

$\int_{0}^{t_{f}} a (t) d t = v_{e} \cdot \int_{0}^{t_{f}} \frac{\frac{d m}{d t}}{m_{0} - (\frac{d m}{d t}) \cdot t} d t = v_{e} \cdot [- \ln (m_{0} - (\frac{d m}{d t}) \cdot t) - (- \ln (m_{0}))] =$ $= v_{e} \cdot [- \ln (m (t)) - (- \ln (m_{0}))] = v_{e} \cdot [\ln (m_{0}) - \ln (m (t))] = v_{e} \cdot \ln \frac{m_{0}}{m_{f}}$

לכן:

v_{f} = v_{0} + v_{e} \ln \frac{m_{0}}{m_{f}}

ראו גם

שיטות הנעה של חללית