משפט רליך-קונדרשוב

באנליזה פונקציונלית, משפט רליך-קונדרשוב הוא משפט לגבי שיכון קומפקטי (כלומר, שיכון רציף שהוא גם אופרטור קומפקטי) בין שני מרחבי סובולב. המשפט קרוי על שם המתמטיקאי הגרמני-אוסטרי פרנץ רליך והמתמטיקאי הרוסי ולדימיר קונדרשוב.

ניסוח המשפט

תהי $\mathrm{\Omega }\subset {\mathbb{ℝ}}^n$ קבוצה פתוחה, חסומה וליפשיצית ויהי $1\le p<n$.

נגדיר $p^{*}=\frac{np}{n-p}$.

אזי מרחב הסובולב $W^{1,p}(\mathrm{\Omega })$ ניתן לשיכון רציף במרחב ה-Lp $L^{P^{*}}(\mathrm{\Omega })$ ולשיכון קומפקטי במרחב $L^q(\mathrm{\Omega })$ לכל $1\le q\le p^{*}$.

כלומר, $W^{1,p}(\mathrm{\Omega })\hookrightarrow L^{p^{*}}(\mathrm{\Omega })$ וגם $1\le q<p^{*}⟹W^{1,p}(\mathrm{\Omega })\subset \subset L^q(\mathrm{\Omega })$.

תוצאות

היות ששיכון הוא קומפקטי אם ורק אם אופרטור השיכון (הזהות) הוא אופרטור קומפקטי, נובע ממשפט רליך-קונדרשוב שלכל סדרה חסומה במידה שווה במרחב $W^{1,p}(\mathrm{\Omega })$ קיימת תת-סדרה המתכנסת במרחב $L^q(\mathrm{\Omega })$. המסקנה הזאת ידועה כמשפט הבחירה של רליך-קונדרשוב.

משפט רליך-קונדרכוב שימושי להוכחת אי-שוויון פואנקרה לפיו לכל $u\in W^{1,p}(\mathrm{\Omega })$ (כאשר $\mathrm{\Omega }$ עומד בתנאי משפט רליך-קונדרכוב) מקיים:

$$\Vert u-u_{\mathrm{\Omega }}{\Vert }_{L^p(\mathrm{\Omega })}\le C\Vert \mathrm{\nabla }u{\Vert }_{L^p(\mathrm{\Omega })}$$

כאשר הקבוע C תלוי רק בערך p ובתכונות הגאומטריות של $\mathrm{\Omega }$ וכן

$u_{\mathrm{\Omega }}\stackrel{\text{def}}{=}\frac{1}{\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}(\mathrm{\Omega })}\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }u(x)\mathrm{d}x$

הוא הערך הממוצע של u בתחום $\mathrm{\Omega }$.