משפט עבודה-אנרגיה

בפיזיקה, משפט העבודה-אנרגיה קובע כי העבודה שנעשית על ידי שקול הכוחות על גוף מסוים, כאשר הוא נע מנקודה אחת לאחרת, שווה בדיוק להפרש באנרגיה הקינטית של הגוף, בין סופה לתחילתה של התנועה המדוברת. באופן פורמלי, $W_{\mathrm{\Sigma }F}=\mathrm{\Delta }{E}_k$.

הוכחה

ההוכחה המוצגת כאן היא במסגרת המכניקה הניוטונית. נניח כי גוף נע מנקודה $a$ אל נקודה $b$ על פני מסילה $C$, תחת השפעת הכח השקול $\overrightarrow{F}$ כאשר ברגע $t_a$ הוא נמצא ב-$a$ וברגע $t_b$ הוא ממוקם ב-$b$. העבודה שעושה הכח תוך כדי התנועה היא

$W=\underset{C}{\int }\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{r}$

על ידי שימוש בחוק השני של ניוטון, $\overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}$, מקבלים

$W=\underset{C}{\int }m\overrightarrow{a}\cdot d\overrightarrow{r}=m\underset{C}{\int }\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}\cdot d\overrightarrow{r}$

באמצעות שימוש בקשר $d\overrightarrow{r}=\overrightarrow{v}dt$ ובפרמטריזציה לפי משתנה הזמן - $t$, מתקבל כי

$W=m\underset{t_a}{\overset{t_b}{\int }}\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}\cdot \overrightarrow{v}dt$

משימוש בהחלפת משתנים נובע כי

$W=m\underset{v(t_a)}{\overset{v(t_b)}{\int }}vdv=\frac{m{v}^2(t_b)}{2}-\frac{m{v}^2(t_a)}{2}$

והואיל והגודל $\frac{m{v}^2}{2}$ מוגדר להיות האנרגיה הקינטית, הרי שניתן לכתוב

$W=\frac{m{v}^2(t_b)}{2}-\frac{m{v}^2(t_a)}{2}=\mathrm{\Delta }{E}_k$

ובכך המשפט הוכח.

קישורים חיצוניים

• עוד על משפט עבודה אנרגיה בבלוג רשימות בפיזיקה עיונית