משפט ההעתקה של רימן

באנליזה מרוכבת, משפט ההעתקה של רימן (באנגלית: Riemann mapping theorem) קובע כי כל תחום פשוט קשר מרוכב (פתוח) השונה מ-$\mathbb{ℂ}$ שקול קונפורמית לעיגול היחידה הפתוח.

המשפט מהווה תוצאה חזקה, אשר לה מסקנות רבות בתורת הפונקציות ההולומורפיות. אינטואיטיבית, הוא קובע שכל תחום פשוט קשר, מסובך כמה שיהיה, שקול לעיגול היחידה באופן אנליטי המשמר תכונות רבות - כמו שינוי בזוויות. המשפט מאפשר להסיק תכונות על תחומים פשוטי קשר שונים על ידי מחקר תכונות של עיגול היחידה, אובייקט די פשוט.

המשפט קרוי על שמו של ברנהרד רימן, מתמטיקאי גרמני מהידועים והמשפיעים ביותר במתמטיקה.

ניסוח

יהי $\mathrm{\Omega }⊊\mathbb{ℂ}$ תחום פשוט קשר. אז קיימת פונקציה הולומורפית חד חד ערכית ועל $$\begin{gathered} f:\mathrm{\Omega }\to D=\{z\in \mathbb{ℂ} \\ :|z|<1\} \end{gathered}$$.

העתקה כזו היא העתקה קונפורמית (זו אחת ההגדרות השקולות להעתקה קונפורמית על המישור המרוכב), כלומר - כל תחום פשוט קשר שאיננו כל $\mathbb{ℂ}$ שקול קונפורמית לעיגול היחידה.

מגרסה "חזקה" יותר של המשפט ניתן להסיק כי הפונקציה גם יחידה כאשר קובעים נקודה שתלך לאפס. פורמלית, בהינתן $z_0\in \mathrm{\Omega }$, קיימת פונקציה יחידה כנ"ל המקיימת גם $f(z_0)=0,f^{\prime }(z_0)>0$.

הוכחת המשפט איננה טריוויאלית כלל, ומערבת משפטים לא פשוטים רבים:

• למת שוורץ.
• קיום שורש אנליטי לפונקציה לא מתאפסת בתחום פשוט קשר, הנובע מקיום לוגריתם טבעי לפונקציה לא מתאפסת בתחום פשוט קשר.
• משפט מונטל, הקובע כי לכל סדרת פונקציות הולומורפיות חסומות יש תת-סדרה מתכנסת במידה שווה על כל תת-קבוצה קומפקטית.
• משפט הורוויץ, הקובע כי אם סדרת פונקציות שלא מתאפסות מתכנסת במידה שווה על כל תת-קבוצה קומפקטית, אז פונקציית הגבול היא או אפס זהותית, או לא מתאפסת כלל.

אפשר לשים לב שהמשפט לא נכון עבור $\mathrm{\Omega }=\mathbb{ℂ}$, זאת משום שאז הפונקציה תהיה שלמה וחסומה, ולכן לפי משפט ליוביל - קבועה.

הוכחה

נוכיח את הניסוח הבא של המשפט: יהי $\mathrm{\Omega }\ne \mathbb{ℂ}$ תחום פשוט קשר. יהי $a\in \mathrm{\Omega }$. אז קיימת פונקציה אנליטית וחח"ע ב $\mathrm{\Omega }$ יחידה כך ש $f(\mathrm{\Omega })=D,f(a)=0,f^{\prime }(a)>0$. לצורך ההוכחה נסמן ב-F את קבוצת כל הפונקציות האנליטיות המעתיקות באופן חח"ע את $\mathrm{\Omega }$ ל-D (לא בהכרח על). נוכיח את המשפט בשלבים:

שלב ראשון - נוכיח ש $F\ne \mathrm{\varnothing }$:

יהי $z_0\in ̸\mathrm{\Omega }$הפונקציה $z-z_0$לא מתאפסת ב $\mathrm{\Omega }$ולכן יש לה שורש אנליטי g שהוא בבירור חח"ע. נטען ש $g(\mathrm{\Omega })\cap -g(\mathrm{\Omega })=\mathrm{\varnothing }$. אחרת יש $z_1,z_2$ כך ש $g(z_1)=-g(z_2)$ לכן $z_1-z_0=z_2-z_0$ולכן $z_1=z_2$ אבל אז $g(z_1)=g(z_2)=-g(z_1)$בסתירה לכך ש g לא מתאפסת ב $\mathrm{\Omega }$.נבחר $z^{\prime }\in -g(\mathrm{\Omega })$. לפי משפט העתקה הפתוחה, $-g(\mathrm{\Omega })$ קבוצה פתוחה. לכן קיים r>0 כך ש $B(z^{\prime },r)\subseteq \mathrm{\Omega }$. תהי $\psi (z)=\frac{r}{z-z^{\prime }}$. אז היא מעבירה באופן חח"ע את $B(z^{\prime },r{)}^{\complement }$לתוך D וכיוון ש $g(\mathrm{\Omega })\subseteq (-g(Omega){)}^{\complement }\subseteq B(z^{\prime },r{)}^{\complement }$נקבל ש $\psi (g)\in F$.

שלב שני - נמצא את f:

כל $g\in F$ אנליטית וחח"ע ב $\mathrm{\Omega }$ ולכן הנגזרת שלה לא מתאפסת שם. לכן $\eta =\underset{g\in F}{\sup }{g}^{\prime }(a)>0$. מנוסחת האינטגרל של קושי נקבל כי $g^{\prime }(a)=\frac{1}{2i\pi }\underset{|\xi -a|=r}{\int }\frac{g(\xi )}{(\xi -a{)}^2}$ ולכן מאי שוויון המשולש האינטגרלי,

$|g^{\prime }(a)|=\frac{1}{2\pi }|\underset{|\xi -a|=r}{\int }\frac{g(\xi )}{(\xi -a{)}^2}|\le \frac{1}{2\pi }\underset{|\xi -a|=r}{\int }\frac{|g(\xi )|}{(\xi -a{)}^2}\le \frac{1}{r}$ ולכן $\eta <\mathrm{\infty }$. לפי הגדרת הסופרימום, קיימת סדרה $f_n\in F$ כך ש $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }|{f_n}^{\prime }(a)|=\eta$. מתקיים $|f_n|\le 1$ ולכן הסדרה חסומה וממשפט מונטל קיימת תת-סדרה $f_{n_j}$ המתכנסת לפונקציה אנליטית f. בה"כ $f^{\prime }(a)=\eta$. נשאר להוכיח ש f מתעתיקה את $\mathrm{\Omega }$ל D באופן חח"ע ועל, ש f מתאפסת ב-a וכן יחידות.

שלב שלישי - נראה ש $f\in F$:

יהו $x\ne y$. נניח ש $y\in ̸B(x,r)\subset \mathrm{\Omega }$. נגדיר ב $B(x,r)$סדרה ${\varphi }_{n_j}(z)=f_{n_j}(z)-f_{n_j}(y)$. כיוון ש $f_{n_j}$ חח"ע נקבל ש ${\varphi }_{n_j}$ לא מתאפסות ב $\mathrm{\Omega }$. ממשפט מונטל נקבל ש $\underset{j\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\varphi }_{n_j}(z)=f(z)-f(y)$ במ"ש על כל תת-קבוצה קומפקטית. ממשפט הורוביץ, נקבל ש $f(z)-f(y)$לא מתאפסת או שווה זהותית ל-0. אבל אם היא 0 אז f קבועה ולכן $f^{\prime }(a)=0<\eta$בסתירה להגדרת f. לכן f חח"ע. כיוון ש $f_{n_j}:\mathrm{\Omega }\to D$נקבל ש $f:\mathrm{\Omega }\to \bar{D}$אבל ממשפט העתקה הפתוחה $f(\mathrm{\Omega })$ קבוצה פתוחה ולכן $f:\mathrm{\Omega }\to D$.

שלב רביעי - נוכיח ש$f(a)=0,f(\mathrm{\Omega })=D$:

נסמן $\alpha =f(a)$ונניח בשלילה ש $\alpha \ne 0$. נגדיר ${\varphi }_{\alpha }(z)=\frac{z-\alpha }{1-\bar{\alpha }z}$נתבונן בפונקציה $g(z)={\varphi }_{\alpha }(f(z))$שנמצאת ב-F. מחישוב נקבל ש $g^{\prime }(a)=\frac{\eta }{1-|\alpha {|}^2}>\eta$ סתירה. כעת נראה ש $\mathrm{f}(\mathrm{\Omega })=\mathrm{D}$: נניח שלא אז יש $b\in D\setminus f(\mathrm{\Omega })$. הפונקציה ${\varphi }_b(f(z))$לא מתאפסת ב $\mathrm{\Omega }$ ולכן יש לה שורש אנליטי שם, $\psi (z{)}^2={\varphi }_b(f(z)$. ברור ש $\psi \in F$ומחישוב נקבל ש ${\psi }^{\prime }(a)=\eta \frac{1-|b{|}^2}{\sqrt{|b|}}$. נגדיר $\nu (z)={\varphi }_{\psi (a)}(\psi (z))$ . אזי $\nu \in F$ומחישוב נקבל ש ${\nu }^{\prime }(a)=\eta \frac{1+|b|}{2\sqrt{|b|}}>\eta$סתירה.

שלב חמישי - נוכיח יחידות:

נניח ש f,g מקיימות את התכונות. נגדיר $S:D\to D,S(z)=f(g^{-1}(z))$אז S אז $S(0)=0$ ומלמת שוורץ נקבל שיש קבוע c, $|c|=1$ כך שמתקיים $S(z)=cz$. מקבלים ש $c=S^{\prime }(0)=\frac{f^{\prime }(a)}{g^{\prime }(a)}>0$לכן c ממשי ולכן c=1 ונקבל את הדרוש.

מסקנות ושימושים

המשפט מהווה תוצאה חזקה מאוד בתחום האנליזה המרוכבת, ויש לו תוצאות חשובות רבות:

• כל שני תחומים פשוטי קשר ב-$\mathbb{ℂ}$ (השונים ממנו) שקולים קונפורמית. בפרט נובע שהם הומיאומורפיים.
• כל תחום פשוט קשר במישור המרוכב הוא כוויץ (שכן הוא שקול קונפורמית (ובפרט הומוטופי) לעיגול היחידה, שהוא כוויץ).
• התכונות הבאות שקולות לתחום פתוח וקשיר:

- התחום פשוט קשר.

- התחום פשוט קשר אנליטית (זהו תחום בו אינטגרל של כל פונקציה הולומורפית על כל מסילה סגורה הוא אפס).

- לכל פונקציה שלא מתאפסת בתחום יש לוגריתם אנליטי.

- לכל פונקציה שלא מתאפסת בתחום יש שורש אנליטי מכל סדר טבעי.

• משפט קרתיאודורי - אם $\mathrm{\Omega }$ תחום פשוט קשר החסום על ידי עקומת ז'ורדן, אז ניתן להרחיב את ההעתקה הקונפורמית $f:\mathrm{\Omega }\to D$ באופן הומיאומורפי לשפה - $f:\partial \mathrm{\Omega }\to \partial D$.
• המשפט קובע כי בין תחום פשוט קשר (לא כל המרחב) לבין עיגול היחידה קיימת שקילות קונפורמית, אך איננו אומר דבר על בנייתה המפורשת. הצגת פונקציה מפורשת היא בעיה לא פשוטה כלל - גם במקרים בהם יש מיון מלא, כמו במקרה של מצולע שלא חותך את עצמו, הפונקציות דיי מסובכות - ראו העתקות שוורץ-קריסטופל (או כאן).

לקריאה נוספת

• Complex Analysis, Stein & Sharkarchi, 224-228

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא משפט ההעתקה של רימן בוויקישיתוף   

• .html משפט ההעתקה של רימן, באתר MathWorld (באנגלית)