משפט הממדים

מִשְׁפַּט הַמְּמַדִּים (בשפות אחרות ידוע בשם זהות גראסמן או נוסחת גראסמן, על-שם הרמן גראסמן) הוא משפט באלגברה ליניארית האומר כי סכום הממדים של שני מרחבים וקטוריים פחות ממד החיתוך שלהם שווה לממד הסכום שלהם. בצורה פורמלית: $$\dim (U+W)=\dim (U)+\dim (W)-\dim (U\cap W)$$.

הוכחה

יהיו $U$ ו-$W$ תת-מרחבים של $V$, שהוא מרחב וקטורי נוצר סופית.

נניח כי $\dim (U\cap W)\ne \{0\}$ וניקח בסיס לחיתוך $\{v_1,v_2,...,v_k\}$ (ההוכחה עובדת גם עבור $\dim (U\cap W)=\{0\}$)

נשלים אותו בשתי דרכים:

• לבסיס של $U$: $\{v_1,v_2,...,v_k,u_1,...,u_l\}$
• לבסיס של $W$: $\{v_1,v_2,...,v_k,w_1,...,w_m\}$

כעת נשאר להוכיח: $\dim (U+W)=k+l+k+m-k=k+l+m$, ולשם כך מספיק להראות כי הקבוצה $\{v_1,...,v_k,u_1,...,u_l,w_1,...,w_m\}$ היא בסיס ל-$U+W$. ניזכר כי זה אומר שוקטורי הקבוצה פורשים את המרחב וגם בלתי תלויים ליניארית (בת"ל):

פרישה

יהי $v\in U+W$, קיימים $u_0\in U$ ו-$w_0\in W$ כך ש $v=u_0+w_0$ הקבוצה $\{v_1,v_2,...,v_k,u_1,...,u_l\}$ היא בסיס ל-U לכן קיימים סקלרים ${\alpha }_1,...,{\alpha }_k,{\beta }_1,...,{\beta }_l$ כך שמתקיים $$u_0=\sum _{i=1}^k{\alpha }_i{v}_i+\sum _{i=1}^l{\beta }_i{u}_i$$

באופן דומה, עבור W, $$w_0=\sum _{i=1}^k{\gamma }_i{v}_i+\sum _{i=1}^m{\delta }_i{w}_i$$

מכאן שמתקיים $$,u_0+w_0=\sum _{i=1}^k({\alpha }_i+{\gamma }_i)v_i+\sum _{i=1}^l{\beta }_i{u}_i+\sum _{i=1}^m{\delta }_i{w}_i$$ ולכן הקבוצה פורשת.

תלות ליניארית

יהיו ${\alpha }_1,...,{\alpha }_k,{\beta }_1,...,{\beta }_l,{\gamma }_1,...,{\gamma }_m$ סקלרים כך ש: $$.\sum _{i=1}^k{\alpha }_i{v}_i+\sum _{i=1}^l{\beta }_i{u}_i+\sum _{i=1}^m{\gamma }_i{w}_i=0$$ כדי להוכיח את הטענה, יש להראות שהשוויון מתקיים רק אם כל הסקלרים שווים לאפס. בעזרת העברת אגפים, מתקבל השוויון: $$\sum _{i=1}^k{\alpha }_i{v}_i+\sum _{i=1}^l{\beta }_i{u}_i=-\sum _{i=1}^m{\gamma }_i{w}_i$$

קיבלנו וקטור ב$U\cap W$ (כי באגף ימין קיבלנו וקטור ב-$W$ ובאגף שמאל וקטור ב-$U$). לכן, את אגף שמאל ניתן לכתוב כצירוף ליניארי של $\{v_1,v_2,...,v_k\}$ שהוא בסיס ל-$U\cap W$.

קיימים ${\delta }_1,...,{\delta }_k$ כך שמתקיים:

• $\sum _{i=1}^k{\delta }_i{v}_i=-\sum _{i=1}^m{\gamma }_i{w}_i$
• $\sum _{i=1}^k{\delta }_i{v}_i+\sum _{i=1}^m{\gamma }_i{w}_i=0$

קיבלנו צירוף ליניארי של איברי $W$ ולכן הם בת"ל, ובפרט עבור $$\begin{gathered} {\gamma }_i=0, \\ 1\le i\le m \end{gathered}$$

$\sum _{i=1}^k{\alpha }_i{v}_i+\sum _{i=1}^l{\beta }_i{u}_i=0$

קיבלנו צירוף ליניארי של איברי $U$ ולכן הקבוצה בת"ל.

לכן בפרט, $$\begin{gathered} {\beta }_i=0, \\ 1\le i\le l \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} {\alpha }_i=0, \\ 1\le i\le k \end{gathered}$$

מש"ל ■

ראו גם

• משפט הממדים עבור העתקות ליניאריות
• עקרון ההכלה וההפרדה

קישורים חיצוניים

• הוכחה, באתר ProofWiki