קדם-מידה

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

בתורת המידה, קדם-מידה (באנגלית: Pre-measure) היא פונקציה שהיא "כמעט" פונקציית מידה, במובן זה שמשפחת הקבוצות שהיא מודדת אינה מהווה סיגמא-אלגברה.

חשיבותה של קדם-מידה היא שכאשר היא מוגדרת על משפחת קבוצות המקיימת תכונות מסוימות, אז היא יכולה להתרחב לכדי פונקציית מידה על סיגמא-אלגברה הנוצרת על ידי משפחת הקבוצות הזו, לעיתים אף באופן יחיד. תכונה חשובה זו מכונה משפט ההרחבה, שלו שתי גרסאות: גרסת קרתאודורי עבור קדם-מידה המוגדרת על חוג למחצה של קבוצות, וגרסת האן-קולמוגורוב עבור קדם-מידה המוגדרת על אלגברה של קבוצות.

שיטה זו של בניית מידה על ידי בניית קדם-מידה היא חשובה ויסודית בתורת המידה, וכך למשל יש לה תפקיד מרכזי בבניית מידת לבג על המספרים הממשיים.

הגדרה

תהי $X$ קבוצה, ותהי ${𝒮}$ אלגברה של קבוצות או חוג למחצה של קבוצות מעל $X$.

פונקציה ${\mu }_0:{𝒮}\to {\mathbb{ℝ}}_{+}$ נקראת קדם מידה, אם היא מקיימת את שתי התכונות הבאות:

1. ${\mu }_0\left(\mathrm{\varnothing }\right)=0$
2. אם $A=A_1\cup A_2\cup \dots$ איחוד סופי או בן-מניה של קבוצות זרות בזוגות מתוך ${𝒮}$, המקיים גם כי $A\in {𝒮}$, אז
   $${\mu }_0\left(A\right)={\mu }_0\left(A_1\right)+{\mu }_0\left(A_2\right)+\dots$$

הסיבה לסימון ${\mu }_0$ היא כי קדם-מידה מיועדת להפוך למידה, כפי שמראה משפט ההרחבה, אותה מסמנים בדרך כלל $\mu$.

משפט ההרחבה

נסמן ב-$\sigma \left({𝒮}\right)$ את הסיגמא-אלגברה הנוצרת על ידי אלגברה של קבוצות או חוג למחצה של קבוצות ${𝒮}$. לכל קדם-מידה ${\mu }_0:{𝒮}\to {\mathbb{ℝ}}_{+}$, קיימת מידה $\mu :\sigma \left({𝒮}\right)\to {\mathbb{ℝ}}_{+}$ המרחיבה את ${\mu }_0$. כלומר, לכל $A\in {𝒮}$ מתקיים $\mu \left(A\right)={\mu }_0\left(A\right)$.

כמו כן, במצב בו ${\mu }_0$ היא סיגמא-סופית, אז $\mu$ יחידה. במצב זה, כמובן גם $\mu$ היא סיגמא-סופית.

ניתן להבחין כי אין כל הבדל בין אם קדם המידה מוגדרת על חוג למחצה של קבוצות או על חוג של קבוצות הנוצר על-ידה, שכן חוג של קבוצות הנוצר על ידי חוג למחצה של קבוצות הוא בדיוק אוסף כל האיחודים הסופיים של קבוצות זרות בזוגות מהחוג למחצה. לכן מאדיטיביות של קדם-מידה, היא מתרחבת באופן יחיד לכדי קדם-מידה על החוג הנוצר.

הגרסה של משפט ההרחבה עבור חוג למחצה של קבוצות נקראת משפט ההרחבה של קרתאודורי על-שם המתמטיקאי היווני-גרמני קונסטנטין קרתיאודורי. הגרסה של משפט ההרחבה עבור אלגברה של קבוצות נקראת משפט ההרחבה של האן-קולמוגורוב, על-שמם של המתמטיקאי האוסטרי האנס האן והמתמטיקאי הרוסי אנדריי קולמוגורוב.

אי היחידות של ההרחבה

כאמור במשפט, היחידות מובטחת רק כאשר המרחב הוא סיגמא-סופי ביחס לקדם המידה הנתונה. כאשר דרישה זו לא מתקיימת, אפילו אם המרחב כן סיגמא-סופי ביחס למידה המרחיבה, היחידות אינה מובטחת. להלן דוגמה לכך.

נתבונן במרחב $X=\mathbb{\mathbb{Q}}\cap [0,1]$, ותהי ${𝒮}$ האלגברה של קבוצות הנוצרת על ידי הקטעים החצי-פתוחים במרחב, מהצורה $[a,b)$.

נתבונן בקדם-מידה טריוויאלית על ${𝒮}$ המקיימת ${\mu }_0\left([a,b)\right)=\mathrm{\infty }$ לכל קטע. כמו כן נגדיר על הסיגמא-אלגברה $\sigma \left({𝒮}\right)$ מידה $\mu \left(A\right)=\left|A\right|$ ועוד מידה $\nu \left(A\right)=2\cdot \left|A\right|$, כאשר $\left|A\right|$ הוא הגודל של הקבוצה $A$, והוא $\mathrm{\infty }$ בכל מצב בו הקבוצה אינה סופית.

אלו שתי מידות שמקבלות ערכים שונים על כל קבוצה סופית של $\sigma \left({𝒮}\right)$ (יש קבוצות סופיות בסיגמא-אלגברה זו), וכמו כן ברור ששתיהן מרחיבות את הקדם-מידה ${\mu }_0$, שכן כל קטע $[a,b)$ במרחב מכיל אינסוף איברים, ולכן $\mu \left([a,b)\right)=\nu \left([a,b)\right)=\mathrm{\infty }$.

בניית מידת לבג

ערך מורחב – מידת לבג

היישום החשוב ביותר של משפט ההרחבה הוא בבניית מידת לבג על המספרים הממשיים. בבנייה זו מתחילים מהחוג למחצה או האלגברה הנוצרים על ידי ${𝒮}=\{(a,b]:a<b\}$, כאשר $b$ יכול להיות גם אינסופי, ומגדירים עליו קדם-מידה להיות הנפח, כלומר ${\mu }_0\left((a,b]\right)=b-a$. כאשר מדובר בקטע אינסופי, ערכה של הקדם-מידה יהיה $\mathrm{\infty }$. ממשפט ההרחבה נובע שקיימת מידה על $\sigma \left({𝒮}\right)$ המרחיבה את ${\mu }_0$. מידה זו מכונה "מידת בורל".

מידת לבג עצמה מתקבלת על ידי עוד הרחבה של מידת בורל, המוגדרת על סיגמא-אלגברה גדולה יותר המכילה את $\sigma \left({𝒮}\right)$.

כפי שנובע מהחלק הנוסף של משפט ההרחבה, היות שהמספרים הממשיים מהווים מרחב מדיד סיגמא-סופי ביחס לקדם-מידת הנפח, הרי שמידת לבג היא המידה היחידה על סיגמא-אלגברת בורל, שמקיימת את התכונה האינטואיטיבית שמידתו של כל קטע $(a,b]$ היא האורך שלו, $b-a$.

לקריאה נוספת

• Real Analysis, H. L. Royden, 1963, 219-224

קישורים חיצוניים

• .html קדם-מידה, באתר MathWorld (באנגלית)   

• משפט ההרחבה של האן-קולמוגורוב, באתר PlanetMath
• משפט ההרחבה של קרתאודורי באתר PlanetMath
• Outer measures, pre-measures, and product measures בבלוג "What's new"
• An alternate approach to the Carathéodory extension theorem בבלוג "What's new"