משפט דה מואבר

אברהם דה-מואבר

משפט דה-מואבר, הקרוי על שמו של אברהם דה-מואבר, קובע שלכל מספר ממשי $x$ ולכל מספר שלם $n$ מתקיים:

$(\cos (x)+i\sin (x){)}^n=\cos (nx)+i\sin (nx)$

כאשר $\cos (x)$ מייצג את הרכיב הממשי במספר המרוכב $\cos (x)+i\sin (x)$, ו־$i\sin (x)$ מייצג את הרכיב המדומה במספר זה.

חשיבותו של משפט דה-מואבר היא בכך שהוא מקשר בין מספרים מרוכבים וטריגונומטריה. באופן פרקטי, המשפט מאפשר להשתמש בקשר זה כדי להעלות מספרים מרוכבים בחזקה או למצוא שורש שלהם. לנוסחה יש שני שימושים עיקריים: הוצאת שורש ממספר מרוכב, והצגת גדלים טריגונומטריים $\cos (nx)$ ו-$\sin (nx)$ כפולינומים ב-$\cos (x)$ ו-$\sin (x)$, בהתאמה. כך לדוגמה, $\cos (5x)=16\cos (x{)}^5-20\cos (x{)}^3+5\cos (x)$. ראו פולינומי צ'בישב.

את נוסחת דה-מואבר אפשר להוכיח באינדוקציה. מן הזהות $[\cos (x)+i\sin (x)][\cos (y)+i\sin (y)]=\cos (x+y)+i\sin (x+y)$, השקולה לזהויות הטריגונומטריות $\cos (x)\cos (y)-\sin (x)\sin (y)=\cos (x+y)$ ו-$\cos (x)\sin (y)+\sin (x)\cos (y)=\sin (x+y)$.

אברהם דה-מואבר היה חבר טוב של אייזק ניוטון, בשנת 1698 הוא כתב שנוסחה זו הייתה ידועה לניוטון עוד ב-1676. ניתן להגיע לנוסחה זאת בקלות מנוסחת אוילר (שהתגלתה מאוחר יותר). זאת משום שלפי נוסחת אוילר, משפט דה-מואבר היא פשוט השוויון הטריוויאלי $(e^{ix}{)}^n=e^{i(nx)}$.

הוצאת שורש מרוכב

ניתן להשתמש בנוסחת דה-מואבר כדי לחשב את השורשים מסדר n של מספר מרוכב כלשהו. אם $z$ הוא מספר מרוכב שונה מאפס, ניתן לייצג אותו באופן יחיד בצורה $z=A(\cos x+i\sin x)$, $0<A$ ו- $0\le x<2\pi$.

המספר $\omega =B(\cos y+i\sin y)$ (עם $0<B$), הוא שורש מסדר n של z אם ${\omega }^n=z$, כלומר, לפי נוסחת דה-מואבר, ${B}^n\cdot (\cos ny+i\sin ny)=A\cdot (\cos x+i\sin x)$. זה קורה בדיוק כאשר :

$$\begin{gathered} {B}^n=A \\ \cos ny+i\sin ny=\cos x+i\sin x \end{gathered}$$

כיוון שלכל מספר חיובי קיים שורש חיובי יחיד מסדר n וכיוון שהפונקציות הטריגונומטריות מחזוריות, עם מחזור $2\pi$(רדיאנים):

$\omega =\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{A(\cos x+i\sin x)}=\sqrt[n]{A}\{\cos \left(\frac{x+2k\pi }{n}\right)+i\sin \left(\frac{x+2k\pi }{n}\right)\}$

כאשר $k=0,1,\dots ,n-1$, ואלו בדיוק n השורשים של z.

ראו גם

• נוסחת אוילר
• שורשי יחידה
• פולינומי צ'בישב

קישורים חיצוניים

• משפט דה-מואבר לזהויות הטריגונומטריות
• .html משפט דה מואבר, באתר MathWorld (באנגלית)