משפט ארצלה-אסקולי

באנליזה פונקציונלית, משפט אַרְצֶלָה-אַסְקוֹלִי (Arzelà–Ascoli, נקרא גם משפט אסקולי) מעניק אפיון מלא לקומפקטיות של משפחת פונקציות רציפות בקבוצה קומפקטית, באמצעות תכונת הרציפות במידה אחידה. המשפט מהווה הכללה מרחיקת-לכת של משפט בולצאנו-ויירשטראס.

תיאור פורמלי

אם $K$ הוא מרחב מטרי קומפקטי כלשהו, מסמנים ב-$C(K)$ את מרחב הפונקציות הרציפות $f:K\to \mathbb{ℂ}$, שמהווה מרחב וקטורי ביחס לפעולות הסכום והכפל בסקלר המוגדרות נקודתית. זהו מרחב בנך (כלומר מרחב נורמי שלם) תחת נורמת $L_{\mathrm{\infty }}$: $\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\underset{x\in K}{\sup }|f(x)|$.

כמו בכל מרחב מטרי, תת-קבוצה $A$ של $C(K)$ היא "חסומה" אם קיים חסם ממשי על כל ערכי הפונקציות שלה.

משפט ארצלה אסקולי: תהי $A\subseteq C(K)$ קבוצה חסומה. אזי לכל סדרה ב-$A$ קיימת תת-סדרה מתכנסת, אם ורק אם $A$ רציפה במידה אחידה.

מסקנה: אם $A\subseteq C(K)$ סגורה (בטופולוגיה הנורמית) וחסומה, אז $A$ קומפקטית אם ורק אם היא רציפה במידה אחידה.

הוכחה: ממשפט ארצלה-אסקולי נובע כי אם $A$ חסומה ורציפה במידה אחידה, אז לכל סדרה יש תת-סדרה מתכנסת. תוספת הנתון ש-$A$ סגורה קובע כי תת-סדרה זו מתכנסת לתוך $A$. מכאן ש-$A$ מהווה מרחב מטרי שבו לכל סדרה יש תת-סדרה מתכנסת, תכונה השקולה לקומפקטיות. הכיוון השני של השקילות נובע באופן טריוויאלי מהמשפט.

מסקנה: אופרטור האינטגרל $T:C(K)\to C(K)$ המוגדר $T(f)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}k(s,t)f(t)\mathrm{d}t$, כאשר $k$ גרעין רציף על $K\times K$, הוא אופרטור קומפקטי.

הוכחת המשפט

כיוון ראשון

תהי $A\subseteq C\left(K\right)$ קבוצה חסומה ונניח שאיברי $A$ רציפים במידה אחידה. נראה שלכל סדרה ב-$A$ יש תת-סדרה מתכנסת. תהי ${\left\{f_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ סדרת פונקציות ב-$A$. תהי ${\left\{x_k\right\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$ סדרה צפופה ב-$K$ (קיימת כזאת כי $K$ מרחב מטרי קומפקטי לכן ספרבילי).

נתבונן בסדרה ${\left\{f_n\left(x_1\right)\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$. זוהי סדרה חסומה ב-$\mathbb{ℂ}$ בפרט יש לה תת-סדרה מתכנסת. נסמן אותה ב-${\left\{f_n^1\left(x_1\right)\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ ואת גבולה ב-${\xi }_1$. כעת נתבונן בסדרה ${\left\{f_n^1\left(x_2\right)\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$. גם זו סדרה חסומה ב-$\mathbb{ℂ}$ לפיכך יש לה תת-סדרה מתכנסת שאותה נסמן ב-${\left\{f_n^2\left(x_2\right)\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ ואת גבולה ב-${\xi }_2$. וכך בתהליך איטרטיבי לכל $m\in \mathbb{\mathbb{N}}$ נגדיר את הסדרה ${\left\{f_n^m\left(x_m\right)\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ להיות תת-סדרה מתכנסת של ${\left\{f_n^{m-1}\left(x_m\right)\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ ואת גבולה נסמן ב-${\xi }_m$.

אם כן, קיבלנו סדרה של סדרות פונקציות. נתבונן בסדרת האלכסון ${\left\{g_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ המוגדרת לכל $n$ כך $g_n:=f_n^n$ (כלומר זו סדרת פונקציות שהאיבר ה-$n$-י שלה הוא האיבר ה-$n$-י בסדרה ה-$n$-ית).

1. זוהי תת-סדרה של ${\left\{f_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$.
2. לכל $k\in \mathbb{\mathbb{N}}$ הסדרה ${\left\{g_n\left(x_k\right)\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ מתכנסת ל-${\xi }_k$ שכן הזנב שלה, ${\left\{g_n\left(x_k\right)\right\}}_{n=k}^{\mathrm{\infty }}$, הוא תת-סדרה של ${\left\{f_n^k\left(x_k\right)\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$.

יהי $\epsilon >0$. אברי $A$ רציפים במידה אחידה לכן קיים $\delta >0$ כך שלכל $x,y\in K$ ולכל $n\in \mathbb{\mathbb{N}}$, אם $d(x,y)<\delta$ אזי $|g_n\left(x\right)-g_n\left(y\right)|<\frac{\epsilon }{3}$ (כאשר $d$ היא פונקציית המטריקה ב-$K$). אבל $K$ קומפקטי, לפיכך נכסה אותו במספר סופי של כדורים פתוחים בקוטר $\delta$ שנסמנם ב-$O_1,\dots ,O_l$.

לכל $1\le i\le l$ קיים $k_i\in \mathbb{\mathbb{N}}$ כך ש-$x_{k_i}\in O_i$ (כי ${\left\{x_k\right\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$ צפופה ב-$K$). כמו כן הסדרה ${\left\{g_n\left(x_{k_i}\right)\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ מתכנסת ל-${\xi }_{k_i}$ לכן לפי תנאי קושי קיים $N_i$ כך שלכל $n,m>N_i$ מתקיים $|g_n\left(x_{k_i}\right)-g_m\left(x_{k_i}\right)|<\frac{\epsilon }{3}$. נסמן $N:=\max (N_i)$. כעת, לכל $n,m>N$ ולכל $x\in K$ קיים $1\le i\le l$ כך ש-$x\in O_i$ ומתקיים מאי שוויון המשולש$|g_n\left(x\right)-g_m\left(x\right)|\le |g_n\left(x\right)-g_n\left(x_{k_i}\right)|+|g_n\left(x_{k_i}\right)-g_m\left(x_{k_i}\right)|+|g_m\left(x_{k_i}\right),g_m\left(x\right)|<\epsilon$. לכן, לפי תנאי קושי, הסדרה ${\left\{g_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ מתכנסת במידה שווה.

קישורים חיצוניים

• דניאלה ליבוביץ, 7: קומפקטיות, טופולוגיה קבוצתית, בית ההוצאה לאור של האוניברסיטה הפתוחה, 2007, עמ' 159–160 (הקישור אינו פעיל, 2020-06-11) (אורכב 11.06.2020 בארכיון Wayback Machine). הספר מתוך "פא"ר – פתיחת אוצרות רוח", אתר הספרים הדיגיטליים של האוניברסיטה הפתוחה.