מרכז הקשה

מרכז ההקשה הוא הנקודה באובייקט בעל מסה המחובר לציר, שבו אם תינתן מכה בכיוון המשיק לציר לא ייגרם עומס עליו. מרכז כלי הקשה לעיתים קרובות נדון בהקשר של מחבט, דלת, חרב או אובייקטים אחרים המוחזקים בקצה אחד.

משמעות הדבר היא, שאם ניקח לדוגמה מטוטלת, אשר כל המסה שלה מרוכזת באותה נקודה, יהיו אותן תנודות כמו האובייקט המורכב.

הסבר

ההשפעות של המכה על קורה תלויה. CP היא מרכז כלי הקשה, CM הוא מרכז המסה של הקורה.

חישוב מרכז הקשה

עבור קורה חופשית וקשה, מתקף $Fdt$ הפועל בזווית ישרה במרחק $b$ ממרכז המסה יביא לשינוי במהירות מרכז המסה $d{v}_{cm}$ לפי היחס:

$F=M\frac{d{v}_{cm}}{dt},$

כש-$M$ היא המסה של הקורה. באופן דומה, המומנט שיוצר הכוח סביב מרכז המסה ישנה את המהירות הזוויתית $\omega$ לפי:

$Fb=I\frac{d\omega }{dt},$

כש-$I$ הוא מומנט האינרציה מסביב למרכז המסה.

עבור כל נקודה P במרחק $p$ מנקודת הפגיעה, בצד השני של מרכז המסה, נוכל לחשב את שינוי המהירות הכוללת (העתקית + סיבובית):

$d{v}_{net}=d{v}_{cm}-pd\omega$

כש-$p$ הוא המרחק של P ממרכז המסה. ומכאן, התאוצה הנגרמת על ידי המכה בנקודה היא:

$\frac{d{v}_{net}}{dt}=(\frac{1}{M}-\frac{pb}{I})F$.

כאשר התאוצה היא אפס, $b$ מגדיר את מרכז ההקשה. לכן, המרחק בין מרכז ההקשה למרכז המסה,$CP=b$, ניתן על ידי:

$b=\frac{I}{pM}$.

שימו לב כי P, ציר הסיבוב, לא חייב להיות בקצה הקורה, וניתן להציבו בכל מרחק $p$.

מרכז ההקשה של קורה אחידה

במקרה המיוחד של קורה בצפיפות אחידה באורך $L$, מומנט האינרציה מסביב למרכז המסה הוא:

$I=\frac{1}{12}M{L}^2$

כך שבעבור סיבוב עם משענת בקצה, $p=L/2$. לכן ניתן להסיק ש-:

$b=\frac{L^2}{12p}=\frac{1}{6}L$.

כך שנובע מכאן:

$b=\frac{L^2}{12p}=\frac{1}{6}L$.

כלומר מרכז ההקשה (CP) ממוקם במרחק 2/3 מהאורך של קורה אחידה ($L$) מהקצה המקובע שלה.

המרחק $b+p$ מגדיר גם את מרכז התנודה של מטוטלת פיזיקלית.

יישומים

לדוגמה, דלת נטרקת שנעצרת על ידי מעצור-דלת הממוקם במרחק 2/3 מהציר שלה תיבלם עם חריקה מינימלית בציר מכיוון שעל הצלע המקובעת לא יפעל כוח תגובה.