ממוצע גאומטרי

ממוצע גאומטרי (ממוצע הנדסי) הוא סוג של ממוצע המהווה מדד מרכז לקבוצה סופית של מספרים ממשיים חיוביים. בהינתן סדרת מספרים $x_1,x_2,\dots x_n$ הממוצע הגאומטרי מוגדר כשורש ה-$n$ של מכפלת איברי הסדרה,

$$\overline{x}=\sqrt[n]{\prod _{i=1}^n{x}_i}=\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdots x_n}$$לחלופין ניתן להציג את הממוצע הגאומטרי באמצעות הממוצע החשבוני של הלוגריתם של הסדרה$$\overline{x}=\exp (\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\ln x_i)$$

תכונות

פרט לתכונות הכלליות שיש לו מעצם היותו סוג של ממוצע, לממוצע גאומטרי מספר תכונות ייחודיות:

• מכפלתה של סדרת מספרים אינה משתנה אם מחליפים כל אחד מהמספרים בסדרה בממוצע הגאומטרי של הסדרה.
• לכל סדרת מספרים מספרים, הממוצע הגאומטרי קטן מהממוצע החשבוני שלה, אלא אם כן כל המספרים בסדרה שווים, ובמקרה זה הממוצע החשבוני והממוצע הגאומטרי שווים.
• המנה של הממוצעים הגאומטריים של שתי סדרות באותו אורך, שווה לממוצע הגאומטרי של סדרת המנות של איברי שתי הסדרות.
• המכפלה של הממוצעים הגאומטריים של שתי סדרות באותו אורך, שווה לממוצע הגאומטרי של סדרת המכפלות של אברי שתי הסדרות.
• הממוצע הגאומטרי הוא מקרה פרטי של ממוצע מוכלל. הממוצע הגאומטרי מתקבל כאשר הפרמטר $p$ בהגדרת הממוצע המשוכלל שואף לאפס. לחישוב הגבול ניתן להשתמש בכלל לופיטל$$\begin{array}{rl}\underset{p\to 0}{\lim }{\left(\frac{\sum _{i=1}^n{x}_i^p}{n}\right)}^{\frac{1}{p}}=& \exp (\underset{p\to 0}{\lim }\frac{1}{p}\ln (\frac{\sum _{i=1}^n{x}_i^p}{n}\left)\right)\\ =& \exp \left(\right(\frac{\sum _{i=1}^n\ln (x_i)}{n}\left)\right)=\overline{x}\end{array}$$

שימוש

ממוצע גאומטרי שימושי עבור סדרות של ערכים שבהם יש משמעות למכפלת הערכים ולא לחיבור ביניהם. לדוגמה:

• חישוב תשואה ממוצעת רב שנתית על השקעות: הממוצע הגאומטרי מספק תמונה מדויקת של התשואה הממוצעת, כיוון שהוא לוקח בחשבון את ההיבט הכפלי של התשואות השנתיות. כדוגמה, נניח שלאורך 4 שנים התשואות היו 10%, 150%, 30%- ו 10%. ההחזר על השקעה של 100 ש"ח הוא $100\times 1.10\times 2.5\times 0.7\times 1.1=211.75$. התוצאה הזו שקולה לתשואה שנתית ממוצעת של 20.6%, שמתקבלת באמצעות ממוצע גאומטרי. ממוצע זה נמוך בהרבה מהממוצע החשבוני של סדרה זו – 35%.
• קצב גידול אוכלוסייה: לחישוב של קצב הגידול הממוצע באוכלוסייה בתקופה מסוימת משתמשים בממוצע גאומטרי ולא בממוצע חשבוני.

ממוצע גאומטרי של פונקציה רציפה

אם $f:[a,b]\to (0,\mathrm{\infty })$ היא פונקציה ממשית רציפה, הממוצע הגאומטרי שלה בתחום הוא

$\bar{f}=\exp (\frac{1}{b-a}\underset{a}{\overset{b}{\int }}\ln f(x)dx)$

כדוגמה, הממוצע הגאומטרי של הפונקציית הזהות $f(x)=x$ בקטע $[0:1]$הוא $e^{-1}$.

ראו גם

• אי שוויון הממוצעים
• מדד מיקום מרכזי
• ממוצע הרמוני
• ממוצע חשבוני
• ממוצע מוכלל

קישורים חיצוניים

• .html ממוצע גאומטרי, באתר MathWorld (באנגלית)