טרינום

באלגברה אלמנטרית, טרִינוֹם (בעברית: תלת־איבר^[1]) הוא פולינום המורכב משלושה איברים או מונומים^[2].

ביטויים טרינומיים

$3 x + 5 y + 8 z$ עם המשתנים $x, y, z$
$3 t + 9 s^{2} + 3 y^{3}$ עם המשתנים $t, s, y$
$3 t s + 9 t + 5 s$ עם המשתנים $t, s$
$A x^{a} y^{b} z^{c} + B t + C s$ עם המשתנים $x, y, z, t, s$ , הקבועים $a, b, c$ מספרים שלמים אי־שליליים ו־ $A, B, C$ קבועים ממשיים.
$P x^{a} + Q x^{b} + R x^{c}$ עם המשתנה $x$ , הקבועים $a, b, c$ מספרים שלמים אי־שליליים ו־ $P, Q, R$ קבועים ממשיים.

משוואה טרינומית

משוואה טרינומית היא משוואה פולינומית הכוללת שלושה איברים. דוגמה לכך היא המשוואה $x = q + x^{m}$ שנחקרה על ידי יוהאן היינריך למברט במאה ה-18.^[3]

מקרה פרטי: טרינום ריבועי

בבתי הספר בישראל פירוק טרינום ריבועי נלמד החל מכיתה ט' כתחליף לנוסחת השורשים לפתרון משוואה ריבועית^[4]. טרינום מסוג זה מיוצג באופן הבא: $a x^{2} + b x + c$ .

במקרים אלה נחפש שני מספרים $a_{1}, a_{2}$ המקיימים את השוויונות $a_{1} + a_{2} = b, a_{1} a_{2} = a c$ , שכן אז ניתן לפרק כך:

a x^{2} + b x + c = a x^{2} + a_{1} x + a_{2} x + c = a x (x + \frac{a_{1}}{a}) + a_{2} (x + \frac{c}{a_{2}}) = (a x + a_{2}) (x + \frac{a_{1}}{a})

(השוויון $a_{1} a_{2} = a c$ גורר את השוויון $\frac{a_{1}}{a} = \frac{c}{a_{2}}$ ולכן ניתן להוציא את הגורם המשותף $x + \frac{a_{1}}{a} = x + \frac{c}{a_{2}}$ ).

לדוגמה, הפולינום $x^{2} + 3 x + 2$ הוא דוגמה לטרינום שמקדם החזקה הגבוהה ביותר הוא 1. מנוסחת השורשים נקבל שהשורשים של הפולינום הם $x_{1} = - 1, x_{2} = - 2$ .
נחפש שני מספרים $a_{1}, a_{2}$ שמקיימים את השוויונות $a_{1} + a_{2} = 3, a_{1} a_{2} = 2$ . המספרים $a_{1} = 1, a_{2} = 2$ מקיימים את השוויונות הללו, ולכן נוכל לפרק כך:

x^{2} + 3 x + 2 = x^{2} + x + 2 x + 2 = x (x + 1) + 2 (x + 1) = (x + 2) (x + 1)

ונקבל מהפירוק כי שורשי הפולינום הם $x_{1} = - 2, x_{2} = - 1$ .

דוגמה נוספת, הפולינום $3 x^{2} - 2 x - 5$ הוא דוגמה לטרינום שמקדם החזקה הגבוהה ביותר שונה מ־1. מנוסחת השורשים נקבל שהשורשים של הפולינום הם $x_{1} = - 1, x_{2} = \frac{5}{3}$ . נחפש שני מספרים $a_{1}, a_{2}$ שמקיימים את השוויונות $a_{1} + a_{2} = - 2, a_{1} a_{2} = - 15$ , המספרים $a_{1} = - 5, a_{2} = 3$ מקיימים את השוויונות הללו, ולכן נוכל לפרק כך:

3 x^{2} - 2 x - 5 = 3 x^{2} + 3 x - 5 x - 5 = 3 x (x + 1) - 5 (x + 1) = (x + 1) (3 x - 5)

ונקבל מהפירוק כי שורשי הפולינום הם $x_{1} = - 1, x_{2} = \frac{5}{3}$ .

אותה תוצאה יכולה להינתן על ידי חוק רופיני, אך עם תהליך מורכב וארוך יותר.

קישורים חיצוניים

String Module Error: Target string is empty.html טרינום, באתר MathWorld (באנגלית) המזהה לא מולא ולא נמצא בוויקינתונים, נא למלא את הפרמטר.

הערות שוליים

^ תְּלַת־אֵיבָר במילון מתמטיקה (תשמ"ה, 1985), באתר האקדמיה ללשון העברית
^ בתהליכי בנייה "תבנית:Cite web"
^ שגיאת לואה ביחידה יחידה:Citation/CS1/Configuration בשורה 1739<includeonly></includeonly>: attempt to index field '?' (a nil value).
^ פירוק של תלת-איבר ריבועי (טרינום), באתר משרד החינוך

[1] תְּלַת־אֵיבָר במילון מתמטיקה (תשמ"ה, 1985), באתר האקדמיה ללשון העברית

[2] בתהליכי בנייה "תבנית:Cite web"

[3] שגיאת לואה ביחידה יחידה:Citation/CS1/Configuration בשורה 1739<includeonly></includeonly>: attempt to index field '?' (a nil value).

[4] פירוק של תלת-איבר ריבועי (טרינום), באתר משרד החינוך

[1]

[2]

[3]

[4]