טריגונומטריה ספירית

טריגנומטריה ספֵירִית היא ענף של הגאומטריה הספירית הדן במצולעים (בעיקר משולשים) המצויים על מעטפת כדורית. הטריגונומטריה הספירית עוסקת ביחסים שבין הזוויות השונות המגדירות מצולע:

הזוויות שבין צלעות המצולע (יסומנו בהמשך באותיות A,B,C או $α, β, γ$ ).
הזוויות שבין מרכז הכדור לצלעות המצולע (יסומנו בהמשך באותיות $a^{'}, b^{'}, c^{'}$ ).

(הערה: מהנוסחה לחישוב היקף מעגל מתקבל כי :

a^{'} = \frac{a}{R}, b^{'} = \frac{b}{R}, c^{'} = \frac{c}{R}

).

ניתן לפתח את התורה על בסיס הטריגנומטריה האוקלידית ובהנחה כי נתון רדיוס הכדור (למשל, רדיוס כדור הארץ הוא כ-6400 ק"מ).

משפטים

המשפטים המוכרים מהגאומטריה ומהטריגונומטריה האוקלידית, אינם מתקיימים בגאומטריה הספירית, אך קיימים להם משפטים מקבילים בטריגונומטריה הספירית:

משפט פיתגורס

משפט פיתגורס בגאומטריה האוקלידית קובע שאם אורכי הניצבים במשולש ישר-זווית הם $a$ ו- $b$ , ואורך היתר הוא $c$ , אז $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ . בטריגונומטריה הספירית, כאשר רדיוס הספירה שווה ל-R, ניתן לנסח את משפט פיתגורס באופן הבא: $\cos (\frac{c}{R}) = \cos (\frac{a}{R}) \cos (\frac{b}{R})$ .

כדי להבין מדוע משפט זה הוא אכן המקבילה של משפט פיתגורס, מפתחים את הפונקציה $\cos α$ לטור מקלורן: $\cos α = 1 - \frac{α^{2}}{2} + . . .$
כאשר מציבים את הפיתוח הנ"ל ב"משפט פיתגורס בגאומטריה הכדורית" מקבלים: $(1 - \frac{c^{2}}{2 R^{2}} + . . .) = (1 - \frac{a^{2}}{2 R^{2}} + . . .) \cdot (1 - \frac{b^{2}}{2 R^{2}} + . . .)$ .
לאחר פתיחת סוגריים, והכפלה בגורם $2 R^{2}$ , מקבלים כאשר רדיוס הכדור $R \to \infty$ את משפט פיתגורס בגרסתו האוקלידית: $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ .

הוכחת המשפט:

את הנקודות O,A,B,C נמקם במערכת קואורדינטות קרטזיות באופן הבא: הנקודה O תהא ראשית הצירים; גזרת העיגול BOC תהא על המישור XY; הישר BO יהא על ציר ה-X. במערכת זו שעורי הנקודות A,B,C הן: $B (R, 0, 0)$ , $C (R \cos (a^{'}), R \sin (a^{'}), 0)$ , $A (R c o s (a^{'}) \cos (b^{'}), R \sin (a^{'}) \cos (b^{'}), R \sin (b^{'}))$ .

את הזווית בין הווקטורים OA,OB ניתן להביע באמצעות מכפלה פנימית באופן הבא: $\cos (c^{'}) = \frac{O A \cdot O B}{‖ O A ‖ ‖ O B ‖} = \cos (a^{'}) \cos (b^{'})$ .

הצבת השוויונות: $a^{'} = \frac{a}{R}, b^{'} = \frac{b}{R}, c^{'} = \frac{c}{R}$ במשוואה האחרונה מניבה את המשפט: $\cos (\frac{c}{R}) = \cos (\frac{a}{R}) \cos (\frac{b}{R})$ .

הערה: ניתן לקבל את המשפט כמקרה פרטי של משפט הקוסינוסים (ראו בהמשך) על ידי הצבה $γ = 9 0^{0}$ .

משפט הסינוסים

משפט הסינוסים בגאומטריה האוקלידית קובע שעבור משולש שצלעותיו הן $a, b, c$ והזוויות שמולן הן $α, β, γ$ בהתאמה, מתקיים: $\frac{a}{\sin α} = \frac{b}{\sin β} = \frac{c}{\sin γ}$ .

בטריגונומטריה הספירית, כאשר רדיוס הספירה שווה ל-R, ניתן לנסח את משפט הסינוסים באופן הבא: $\frac{\sin \frac{a}{R}}{\sin α} = \frac{\sin \frac{b}{R}}{\sin β} = \frac{\sin \frac{c}{R}}{\sin γ}$ .

כדי להבין מדוע משפט זה הוא אכן המקבילה של משפט הסינוסים, מפתחים את הפונקציה $\sin α$ לטור מקלורן: $\sin α = α + . . .$ .

כאשר מציבים את הפיתוח הנ"ל ב"משפט הסינוסים בגאומטריה הספירית" מקבלים כאשר רדיוס הכדור $R \to \infty$ : $\frac{\frac{a}{R} + . . .}{\sin α} = \frac{\frac{b}{R} + . . .}{\sin β} = \frac{\frac{c}{R} + . . .}{\sin γ}$ .

לאחר הכפלה ב-R מתקבל משפט הסינוסים בגרסתו האוקלידית: $\frac{a}{\sin α} = \frac{b}{\sin β} = \frac{c}{\sin γ}$ .

הוכחת המשפט:

האנך מהנקודה A לגזרת העיגול BOC חותך אותה בנקודה D. האנכים מהנקודה D לקטעים OB,OC חותכים את הקטעים בנקודות E,F בהתאמה.

אזי $A F ⊥ O C$ , $A E ⊥ O B$ וגם $∠ A E D = β$ , $∠ A F C = γ$ .

במשולש AED מתקיים: $\sin β = \frac{A D}{A E}$ ובמשולש AFD מתקיים: $\sin γ = \frac{A D}{A F}$ ולכן $\frac{\sin β}{\sin γ} = \frac{A F}{A E}$ .

במשולש AOE מתקיים: $\sin c^{'} = \frac{A E}{R}$ ובמשולש AOF מתקיים: $\sin b^{'} = \frac{A F}{R}$ .

לאחר הצבת משוואות אלו במשוואה הקודמת מקבלים: $\frac{\sin β}{\sin γ} = \frac{\sin b^{'}}{\sin c^{'}}$ , כלומר: $\frac{\sin β}{\sin γ} = \frac{\sin \frac{b}{R}}{\sin \frac{c}{R}}$ .

משפט הקוסינוסים

משפט הקוסינוסים בגאומטריה האוקלידית קובע שעבור משולש שצלעותיו הן $a, b, c$ והזוויות שמולן הן $α, β, γ$ בהתאמה, מתקיים: $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos γ$

בטריגונומטריה הספירית, כאשר רדיוס הספירה שווה ל-R, ניתן לנסח את משפט הקוסינוסים באופן הבא: $\cos \frac{c}{R} = \cos \frac{a}{R} \cdot \cos \frac{b}{R} + \sin \frac{a}{R} \cdot \sin \frac{b}{R} \cdot \cos γ$ .

(עבור זוויות המשולש מתקיים משפט אנלוגי: $\cos γ = - \cos α \cdot \cos β + \sin α \cdot \sin β \cdot \cos \frac{c}{R}$ ).

כדי להבין מדוע משפט זה הוא אכן המקבילה של משפט הקוסינוסים, מפתחים את הפונקציות $\cos α, \sin α$ לטור מקלורן: $\cos α = 1 - \frac{α^{2}}{2} + . . .$ , $\sin α = α + . . .$ .

כאשר מציבים את הפיתוחים הנ"ל ב"משפט הקוסינוסים בגאומטריה הספירית" מקבלים: $(1 - \frac{c^{2}}{2 R^{2}} + . . .) = (1 - \frac{a^{2}}{2 R^{2}} + . . .) \cdot (1 - \frac{b^{2}}{2 R^{2}} + . . .) + (\frac{a \cdot b}{R^{2}} \cdot \cos γ + . . .)$ .

לאחר פתיחת סוגריים, והכפלה בגורם $2 R^{2}$ , מקבלים כאשר רדיוס הכדור $R \to \infty$ את משפט הקוסינוסים בגרסתו האוקלידית: $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos γ$ .

זהויות

מכפלת סינוס וקוסינוס	$\sin a^{'} \cdot \cos β = \cos b^{'} \cdot \sin c^{'} - \sin b^{'} \cdot \cos c^{'} \cdot \cos α$
מכפלת סינוס וקוטנגנס	$\sin α \cdot \cot β = \cot b^{'} \cdot \sin c^{'} - \cos c^{'} \cdot \cos α$
משפט הטנגסים	$\frac{\tan \frac{a^{'} + b^{'}}{2}}{\tan \frac{a^{'} - b^{'}}{2}} = \frac{\tan \frac{α + β}{2}}{\tan \frac{α - β}{2}}$
נוסחאות נפייר	$\tan \frac{a^{'} + b^{'}}{2} \cdot \cos \frac{α + β}{2} = \tan \frac{c^{'}}{2} \cdot \cos \frac{α - β}{2}$ $\tan \frac{α + β}{2} \cdot \cos \frac{a^{'} + b^{'}}{2} = \cot \frac{γ}{2} \cdot \cos \frac{a^{'} - b^{'}}{2}$ $\tan \frac{a^{'} - b^{'}}{2} \cdot \sin \frac{α + β}{2} = \tan \frac{c^{'}}{2} \cdot \sin \frac{α - β}{2}$ $\tan \frac{α - β}{2} \cdot \sin \frac{a^{'} + b^{'}}{2} = \cot \frac{γ}{2} \cdot \sin \frac{a^{'} - b^{'}}{2}$
נוסחאות דלאמבר	$\sin \frac{a^{'} + b^{'}}{2} \cdot \sin \frac{γ}{2} = \cos \frac{α - β}{2} \cdot \sin \frac{c^{'}}{2}$ $\sin \frac{a^{'} - b^{'}}{2} \cdot \cos \frac{γ}{2} = \sin \frac{α - β}{2} \cdot \sin \frac{c^{'}}{2}$
חצי זווית (סימון: $s = \frac{a^{'} + b^{'} + c^{'}}{2}$ ).	$\sin \frac{α}{2} = \sqrt{\frac{\sin (s - b^{'}) \cdot \sin (s - c^{'})}{\sin b^{'} \cdot \sin c^{'}}}$ $\cos \frac{α}{2} = \sqrt{\frac{\sin (s) \cdot \sin (s - a^{'})}{\sin b^{'} \cdot \sin c^{'}}}$ $\tan \frac{α}{2} = \sqrt{\frac{\sin (s - b^{'}) \cdot \sin (s - c^{'})}{\sin s \cdot \sin (s - a^{'})}}$
חצי צלע (סימון: $σ = \frac{α + β + γ}{2}$ ).	$\sin \frac{a^{'}}{2} = \sqrt{\frac{- \cos σ \cdot \cos (σ - α)}{\sin β \cdot \sin γ}}$ $\cos \frac{a^{'}}{2} = \sqrt{\frac{\cos (σ - β) \cdot \cos (σ - γ)}{\sin β \cdot \sin γ}}$ $\tan \frac{a^{'}}{2} = \sqrt{\frac{- \cos σ \cdot \cos (σ - α)}{\cos (σ - β) \cdot \cos (σ - γ)}}$

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא טריגונומטריה ספירית בוויקישיתוף המזהה לא מולא ולא נמצא בוויקינתונים, נא למלא את הפרמטר.

טריגונומטריה ספירית, באתר MathWorld (באנגלית)
טריגונומטריה ספרית, דף שער בספרייה הלאומית