טור דיריכלה

בתורת המספרים האנליטית, טור דיריכלה הוא טור מהצורה $f(s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n}{n^s}$, כאשר המקדמים ${a}_n$ הם קבועים (בדרך כלל שלמים, או שורשי יחידה), ו-s הוא משתנה מרוכב. טורים מן הסוג הזה הופיעו כבר במאה ה-17 (ראו למשל בעיית בזל), ואוילר מצא דרכים מתוחכמות לקשור אותם אל המספרים הראשוניים. דיריכלה הפך אותם לכלי מרכזי בהוכחת המשפט שלו על ראשוניים בסדרות חשבוניות, והטורים קרויים על-שמו.

דוגמאות

טור דיריכלה המפורסם ביותר הוא:

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}$

שהוא פונקציית זטא של רימן. טור דיריכלה אחר הוא

$\frac{1}{\zeta (s)}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mu (n)}{n^s}$

כאשר $\mu (n)$ היא פונקציית מביוס. טורים נוספים אפשר לפתח על ידי הפעלת נוסחת ההיפוך של מביוס וקונבולוציית דיריכלה על סדרה ידועה.

זהויות אחרות כוללות את

$\frac{\zeta (s-1)}{\zeta (s)}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\phi (n)}{n^s}$

כאשר $\phi (n)$ היא פונקציית אוילר, ו-

$\zeta (s)\zeta (s-a)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\sigma }_a(n)}{n^s}$

$\frac{\zeta (s)\zeta (s-a)\zeta (s-b)\zeta (s-a-b)}{\zeta (2s-a-b)}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\sigma }_a(n){\sigma }_b(n)}{n^s}$

כאשר ${\sigma }_a(n)$ היא פונקציית המחלקים.

ראו גם

• מכפלת אוילר

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא טור דיריכלה בוויקישיתוף   

• .html טור דיריכלה, באתר MathWorld (באנגלית)   
• טורי דירילכט, דף שער בספרייה הלאומית