פונקציה חד-חד-ערכית ועל

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, פונקציה חד-חד-ערכית ועל (נקראת גם בִּייקציָה; באנגלית: Bijection) מקבוצה X לקבוצה Y היא פונקציה המתאימה לכל איבר של X איבר אחד ויחיד של Y, כך שכל איבר ב Y מותאם לאיבר ב X. פונקציה חח"ע (חד חד ערכית) ועל נקראת "פונקציה הפיכה" וגם זיווג.

באופן פורמלי: $f:X\to Y$ חד-חד-ערכית ועל אם ורק אם לכל $b\in Y$ קיים $a\in X$ יחיד כך ש $f(a)=b$. בתנאי זה, קיומו של $a$ מבטא את העובדה שהפונקציה היא פונקציה על, והיחידות שלו (כלומר העובדה שלא קיימים $a,a^{\prime }$ שונים שעבורם $f(a)=f(a^{\prime })$), מבטאת את העובדה שהפונקציה חד-חד-ערכית.

דוגמאות

• מכירת כרטיסי קולנוע יוצרת התאמה בין קהל הצופים לבין הכיסאות שבאולם הקולנוע. כאשר כל הכרטיסים נמכרו, זו התאמה חד-חד-ערכית ועל - לכל כיסא באולם הקולנוע מותאם צופה אחד ויחיד. כאשר לא כל הכרטיסים נמכרו, זו התאמה חד-חד-ערכית שאינה על - יש כיסאות פנויים באולם.
• פונקציה המתאימה לכל מספר זוגי את החצי שלו (כלומר מתאימה ל-2 את 1, ל-4 את 2, ל-6 את 3 וכו') היא פונקציה חד-חד-ערכית ועל מקבוצת המספרים הזוגיים לקבוצת המספרים הטבעיים.

גרף פונקציה $y=x^2$ בתחום $[-2,2]$

• הפונקציה $y=x^2$ היא חד-חד-ערכית ועל בתחום $f:[0,\mathrm{\infty })\to [0,\mathrm{\infty })$, משום שכל ערך של y בקטע הממשי $[0,\mathrm{\infty })$ מתקבל בדיוק פעם אחת. הפונקציה איננה חד-חד-ערכית בתחום $f:(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })\to [0,\mathrm{\infty })$ משום שכל ערך של y בקטע הממשי $(0,\mathrm{\infty })$ מתקבל פעמיים (הערך 4, למשל, הוא $f(2)$ וגם $f(-2)$).
• הפונקציה $y=x^3$ היא חד-חד-ערכית ועל בתחום $f:[-1,1]\to [-1,1]$, משום שכל ערך של y בקטע הממשי $[-1,1]$ מתקבל בדיוק פעם אחת.

דיאגרמות להמחשה

• 
  פונקציה חד-חד-ערכית ועל
• 
  פונקציה חד-חד-ערכית שאינה על
• 
  פונקציה על שאינה חד-חד-ערכית
• 
  פונקציה שאינה חד-חד-ערכית ואינה על
• 
  מיפוי שאינו פונקציה כי חסר יעד ייחודי לאחד המקורות

תכונות ושימושים

• אם קיימת פונקציה כזו בין $X$ ל-$Y$, הקבוצות $X$ ו-$Y$ נקראות "שקולות" והן בעלות אותה העוצמה.
• פונקציה היא חד-חד-ערכית ועל אם ורק אם היא הפיכה, ולכן היא מגדירה יחס שקילות בין קבוצות על פי עוצמתן ובפרט יחס סימטרי.
• אם על הקבוצות $X,Y$ מוגדר מבנה נוסף (פעולות אלגבריות, טופולוגיה, מטריקה וכדומה), אז פונקציה חד-חד-ערכית ועל ביניהן השומרת על המבנה נקראת איזומורפיזם.
• פונקציה חד-חד-ערכית ועל מקבוצה אל עצמה נקראת תמורה.
• אוסף התמורות על קבוצה $X$ הוא חבורת הסימטריות של הקבוצה; לדוגמה, הפונקציה המתאימה לכל מספר שלם את העוקב שלו, היא תמורה על המספרים השלמים.
• פונקציות חד-חד-ערכיות ועל הן מאבני הבניין של צפנים סימטריים מודרניים רבים בקריפטוגרפיה.

ראו גם

• תמורה (מתמטיקה)
• פונקציה הפיכה

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא פונקציה חד-חד-ערכית ועל בוויקישיתוף   

• פונקציה חד-חד-ערכית ועל, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)
• .html פונקציה חד-חד-ערכית ועל, באתר MathWorld (באנגלית)   

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.