חבורת הייזנברג

בתורת החבורות, חבורת הייזנברג היא חבורה מעל חוג חילופי, הבנויה מהמטריצות המשולשיות העליונות בגודל $3\times 3$, עם אחדות באלכסון, יחד עם פעולת כפל מטריצות.

החבורה נקראת על שמו של הפיזיקאי הגרמני ורנר הייזנברג. לחבורה קשרים חשובים למכניקה קוונטית, ובעזרתה ניתן לנסח את משפט סטון-פון נוימן בשפה של תורת ההצגות. מעל שדות סופיים, מהווה חבורת הייזנברג חבורת-p בעלת תכונות מעניינות, ועוזרת בחקר תכונות של חבורות-p.

הגדרה

יהי $R$ חוג חילופי. חבורת הייזנברג (מממד 3) מעל החוג $R$ היא החבורה שאיבריה הם המטריצות: $\left(\begin{array}{ccc}1& a& c\\ 0& 1& b\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$, כאשר $a,b,c\in R$. הפעולה בחבורה היא כפל מטריצות, ואיבר היחידה שלה הוא מטריצת היחידה. המבנה הנתון אכן מהווה חבורה, שכן הוא סגור לכפל: $\left(\begin{array}{ccc}1& a& c\\ 0& 1& b\\ 0& 0& 1\\ \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& a^{\prime }& c^{\prime }\\ 0& 1& b^{\prime }\\ 0& 0& 1\\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& a+a^{\prime }& c+c^{\prime }+a{b}^{\prime }\\ 0& 1& b+b^{\prime }\\ 0& 0& 1\\ \end{array}\right)$

ולכל איבר יש איבר הפיך (ללא הדרישה שהאיברים $a,b,c\in R$ יהיו הפיכים בעצמם):${\left(\begin{array}{ccc}1& a& c\\ 0& 1& b\\ 0& 0& 1\\ \end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& -a& ab-c\\ 0& 1& -b\\ 0& 0& 1\\ \end{array}\right)$.

חבורת הייזנברג מסדר $2n+1$ היא: $$\begin{gathered} H_{2n+1}(R)=\left\{\left(\begin{array}{cccccc}1& a_1& a_2& \cdots & \cdots & a_{n+1}\\ 0& 1& 0& \cdots & 0& a_{n+2}\\ ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & ⋮& ⋮\\ ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & 0& a_{2n}\\ ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & 1& a_{2n+1}\\ 0& \cdots & \cdots & \cdots & 0& 1\end{array}\right) \\ \right| \\ {a}_1,\dots ,a_{2n+1}\in R\} \end{gathered}$$.

דוגמאות

חבורת הייזנברג הממשית

כאשר החוג $R$ הוא שדה המספרים הממשיים $\mathbb{ℝ}$, מתקבלת חבורת הייזנברג הממשית, או חבורת הייזנברג הרציפה.

במקרה זה, מתקבלת חבורת לי נילפוטנטית מסדר 3. לפי משפט סטון-פון נוימן, לחבורה זו יש הצגה יחידה עליה המרכז פועל כמו קרקטר.

חבורת הייזנברג הבדידה

כאשר החוג $R$ הוא חוג המספרים השלמים $\mathbb{\mathbb{Z}}$, מתקבלת חבורת הייזנברג הדיסקרטית. זוהי חבורה נילפוטנטית חופשית ממחלקה 2, ונוצרת על ידי:$$\begin{gathered} x=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ \end{array}\right), \\ y=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\\ \end{array}\right) \end{gathered}$$

לחבורה הייצוג הבא: $$\begin{gathered} <x,y,z|z_{}^{}=[x,y], \\ [x,z]=e, \\ [y,z]=e> \end{gathered}$$, כאשר $x,y$ הם כדלעיל ו-$z=xy{x}^{-1}{y}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ \end{array}\right)$.

במקרה זה, האיבר $z$ יוצר את המרכז של החברה, וכל איבר שלה ניתן לכתוב מהצורה$\left(\begin{array}{ccc}1& a& c\\ 0& 1& b\\ 0& 0& 1\\ \end{array}\right)=y^b{z}^c{x}^a$.

בתור חבורה נילפוטנטית נוצרת סופית, לחבורת הייזנברג הדיסקרטית גידול פולינומי וממד גלפנד-קירילוב שלה הוא 4. מתברר כי ביחס לכל קבוצת יוצרים סופית, טור הילברט של חבורת הייזנברג הוא פונקציה רציונלית (היינו, מנה של שני פולינומים במקדמים שלמים). תופעה זו, המכונה 'פאן-רציונליות', הוכחה על ידי דוצ'ין ושפירו.

מעל שדה סופי

חבורת הייזנברג מעל השדה הסופי ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_p$ היא מסדר $p^3$ ומאקספוננט $p$. ניתן לתאר אותה על ידי היחסים הבאים:

$$\begin{gathered} z=[x,y], \\ {x}^p=y^p=z^p=1, \\ [x,z]=e, \\ [y,z]=e \end{gathered}$$

חבורות אלו הן חבורות מאוד מיוחדות - חבורת-p בה המרכז $C$ איזומורפי ל-${\mathbb{\mathbb{Z}}}_p$ וחבורת המנה $G/C$ היא אבלית וכל איבר לא טריוויאלי בה הוא מסדר $p$.

במקרה של $p=2$, מתקבלת החבורה הדיהדרלית $D_4$.

אלגברת לי המתאימה

לחבורת הייזנברג הממשית ניתן להתאים את אלגברת לי המכילה את המטריצות הבאות:

$\left(\begin{array}{ccc}0& a& b\\ 0& 0& c\\ 0& 0& 0\\ \end{array}\right)$,

עם הבסיס הבא:

$X=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ \end{array}\right);Y=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ \end{array}\right);Z=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ \end{array}\right)$

איברי הבסיס מקיימים את היחסים הבאים, המזכירים את יחסי החילוף הקנוניים במכניקה קוונטית:

$[X,Y]=Z;[X,Z]=0;[Y,Z]=0$

ההתאמה בין אלגברת לי לחבורת הייזנברג, בעזרת פונקציית האקספוננט, היא הפיכה.

קישורים חיצוניים

• .html חבורת הייזנברג, באתר MathWorld (באנגלית)