הלמה של בורל-קנטלי

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

הלמה של בורל-קנטלי הוא שם כולל לשניים או שלושה משפטים יסודיים בתורת ההסתברות, שנוסחו והוכחו על ידי אמיל בורל ופרנצ'סקו פאולו קנטלי בראשית המאה ה-20. המשפטים עוסקים בסדרת מאורעות בת-מניה, וקובעים בתנאים מסוימים את ההסתברות של המאורע שבו מתרחשים אינסוף מתוך מאורעות הסדרה.

נוסח פורמלי

יהי $(X,{ℱ},\mathbb{\mathbb{P}})$ מרחב הסתברות, ותהי ${\left\{A_i\right\}}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$ סדרה של מאורעות.

נתבונן במאורע הבא, $$\left\{\text{infinitely many of the }{A}_i\text{ occur}\right\}=\underset{i}{\mathrm{lim\; sup}}\left(A_i\right)=\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\bigcup _{i=n}^{\mathrm{\infty }}{A}_i$$.

הלמה הראשונה של בורל-קנטלי

אם מתקיים כי $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\mathbb{\mathbb{P}}\left(A_i\right)<\mathrm{\infty }$, אז $\mathbb{\mathbb{P}}\left(\underset{i}{\mathrm{lim\; sup}}\left(A_i\right)\right)=0$

הלמה השנייה של בורל-קנטלי

נניח כי המאורעות כולם בלתי-תלויים. אם מתקיים כי $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\mathbb{\mathbb{P}}\left(A_i\right)=\mathrm{\infty }$, אז $\mathbb{\mathbb{P}}\left(\underset{i}{\mathrm{lim\; sup}}{A}_i\right)=1$.

נשים לב שמתוך הנחת אי התלות יחד עם התובנה כי המאורע $\underset{i}{\mathrm{lim\; sup}}\left(A_i\right)$ הוא מאורע זנב, נובע מחוק האפס-אחד של קולמוגורוב כי ההסתברות למאורע זה היא בהכרח 0 או 1. הלמה השנייה של בורל-קנטלי קובעת כי אם הטור הנ"ל מתבדר, הרי שההסתברות למאורע זה היא 0.

הערה: למעשה ניתן להחליש את דרישת אי התלות ולדרוש אי-תלות בזוגות בלבד. כלומר, שכל זוג של מאורעות מתוך האוסף הוא בלתי-תלוי.

הלמה של בורל-קנטלי לסדרה עולה של מאורעות

נניח כי סדרת המאורעות עולה, כלומר $A_1\subset A_2\subset A_3\subset ...$. נשים לב כי במקרה זה, $\underset{i}{\mathrm{lim\; sup}}\left(A_i\right)=\{{\mathrm{\exists }}_j,A_j\text{ occures}\}$. אזי הסתברותו של מאורע זה היא 1, אם ורק אם קיימת סדרה עולה ממש של אינדקסים ${\left\{i_k\right\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$ שעבורה $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\mathbb{\mathbb{P}}(A_{i_{k+1}}\mid A_{i_k}^c)=\mathrm{\infty }$.

הכרחיות דרישת אי התלות בלמה השנייה

הלמה השנייה של בורל-קנטלי משלימה את הלמה הראשונה בכך שהיא מוכיחה את הכיוון ההפוך, אלא שהיא חלה רק כאשר המאורעות בלתי-תלויים. אכן, אם המאורעות תלויים הטענה אינה נכונה, כפי שמראה הדוגמה הנגדית הבאה.

נתבונן במאורעות $A_n=[0,\frac{1}{n}]$ במרחב ההסתברות של ההתפלגות האחידה על $[0,1]$. מאורעות אלה תלויים כמובן, שכן ${A}_i$ גורר את ${A}_j$ לכל $i<j$. ואכן, למרות שמתקיים $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\mathbb{\mathbb{P}}\left(A_i\right)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{i}=\mathrm{\infty }$, עדיין $\mathbb{\mathbb{P}}\left(\underset{i}{\mathrm{lim\; sup}}\left(A_i\right)\right)=\mathbb{\mathbb{P}}\left(\left\{0\right\}\right)=0$.

ראו גם

• משפט הקוף המקליד - מקרה פרטי של הלמה של בורל קנטלי
• מספר נורמלי