פונקציה הומוגנית

במתמטיקה, פונקציה הומוגנית מסדר $n$ היא פונקציה אשר בעת שהארגומנטים בה מוכפלים במספר קבוע $c$, ערך הפונקציה מוכפל ב־$c^n$.

הגדרה מפורטת

תהי $f:V\to W$ פונקציה בין שני מרחבים וקטורים מעל לשדה $F$, ויהי $k$ מספר שלם.
אזי $f$ תיקרא הומוגנית מסדר $k$ אם $f(\alpha \mathbf{v})={\alpha }^{k}f(\mathbf{v})$ לכל $0\ne \alpha \in F$ ולכל $v\in V$.

כאשר המרחבים הווקטוריים הם מעל המספרים הממשיים מגדירים פונקציה הומוגנית חיובית מסדר $k$ כאשר הדרישה $f(\alpha \mathbf{v})={\alpha }^{k}f(\mathbf{v})$ צריכה להתקיים רק עבור $\alpha >0$ חיובי, ו-$k$ יכול להיות כל מספר מרוכב.

כמו כן, במקרה שבו $F$ הוא שדה הממשיים או המרוכבים, מגדירים פונקציה הומוגנית בהחלט מסדר $k$ אם מתקיים $f(\alpha \mathbf{v})=|\alpha {|}^{k}f(\mathbf{v})$ לכל $\alpha \in F$.

דוגמאות

העתקות ליניאריות

כל העתקה ליניארית $f:V\to W$ היא פונקציה הומוגנית מסדר 1 שכן על פי הגדרת הליניאריות: $f(\alpha \mathbf{v})=\alpha f(\mathbf{v})$ לכל $\alpha \in F$ ולכל $v\in V$.

פולינומים הומוגניים

כל מונום (חד-איבר) ב-$n$ משתנים מגדיר פונקציה הומוגנית $f:F^n\to F$. לדוגמה, שטח של ריבוע $S(a)=a^2$ הוא מונום הומוגני $f:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ}$ מסדר שני, כי אם מכפילים את אורך הצלע בקבוע, מקבלים מכפלה של אותו קבוע בחזקה שנייה עם השטח הרגיל, כלומר $S(ca)=c^2{a}^2=c^{2}S(a)$.

סכום של מונומים הומוגניים מאותו סדר מהווה פולינום הומוגני. לדוגמה: $x^5+2x^3{y}^2+9x{y}^4$ הוא פולינום הומוגני מסדר 5.

פונקציות רציונליות

הפונקציה הרציונלית הנוצרת מחלוקה של שני פולינומים הומוגניים, היא פונקציה הומוגנית למעט בנקודות בהן הפונקציה במכנה מתאפסת.

כלומר אם $f$ פולינום הומוגני מסדר $m$ ו-$g$ פולינום הומוגני מסדר $n$, אזי $\frac{f}{g}$ היא פונקציה הומוגנית מסדר $m-n$ בכל הנקודות חוץ מבשורשים של $g$.

פונקציות רציונליות הומוגניות מסדר 0, כגון $\frac{x^2+y^2+z^2}{(x+2y+3z{)}^2}$, מוגדרות היטב על הנקודות של המישור הפרויקטיבי.

פונקציה תת-ליניארית ונורמה-למחצה

כל פונקציה תת-ליניארית היא בהחלט הומוגנית חיובית מסדר 1, זאת על פי הגדרתה. לעומת זאת, כל נורמה-למחצה (ובפרט כל נורמה) היא הומוגנית בהחלט מסדר 1.

פונקציות הומגניות חלקיות

לעיתים הפונקציה היא הומוגנית מסדרים שונים עבור הפרמטרים השונים, כך למשל אנרגיה קינטית $E_k(m,v)=\frac{1}{2}m{v}^2$ היא פונקציה הומוגנית מסדר שני עבור המהירות, כי אם מכפילים את המהירות בקבוע מקבלים מכפלה של אותו קבוע בחזקה השנייה עם האנרגיה הקינטית המקורית $E_k(m,cv)=\frac{1}{2}m{c}^2{v}^2$, לעומת זאת עבור המסה זוהי פונקציה הומוגנית מסדר ראשון מכיוון שמתקיים $E_k(cm,v)=\frac{1}{2}cm{v}^2$.

במקרים אחרים הפונקציה היא הומוגנית רק עבור חלק מהפרמטרים, למשל עבור התפרקות רדיואקטיבית מספר האטומים שנותרו בחומר לאחר פרק זמן $t$ נתון על ידי $N(N_0,t,\tau )=N_0\cdot e^{-\frac{t}{\tau }}$, ובעוד שמתקיים $N(c{N}_0,t,\tau )=cN(N_0,t,\tau )$, קרי $N$ היא פונקציה הומוגנית מסדר ראשון עבור $N_0$, היא אינה הומוגנית במשתנים האחרים.

משפט אוילר לפונקציות הומוגניות

תהי $f:{\mathbb{ℝ}}^n\to \mathbb{ℝ}$ פונקציה חלקה אזי $f$ הומוגנית חיובית מסדר $k$ אם ורק אם:

$\mathbf{x}\cdot \mathrm{\nabla }f(\mathbf{x})=\sum _{i=1}^n{x}_i\frac{\partial f}{\partial x_i}=kf(\mathbf{x})$

הוכחה

$\Leftarrow$: תהי $f:{\mathbb{ℝ}}^n\to \mathbb{ℝ}$ פונקציה חלקה והומוגנית חיובית מסדר $k$. אזי $f(a\mathbf{x})=a^{k}f(\mathbf{x})$. נגזור את שני האגפים לפי $a$ ונקבל

$\frac{df(a\mathbf{x})}{da}=\mathbf{x}\cdot \mathrm{\nabla }f(a\mathbf{x})=k{a}^{k-1}f(\mathbf{x})$

מכיוון שהומוגניות היא תכונה שמתקיימת לכל $a$, נציב $a=1$ ונקבל $\mathbf{x}\cdot \mathrm{\nabla }f(\mathbf{x})=kf(\mathbf{x})$.

$\Rightarrow$: תהי $f:{\mathbb{ℝ}}^n\to \mathbb{ℝ}$ פונקציה חלקה המקיימת $\mathbf{x}\cdot \mathrm{\nabla }f(\mathbf{x})=kf(\mathbf{x})$ לכל $\mathbf{x}$.

נבחר $\mathbf{x}$ כלשהו ונגדיר $g(a)=a^{-k}f(a\mathbf{x})$. כעת:

$\frac{dg}{da}=-k{a}^{-k-1}f(a\mathbf{x})+a^{-k}\mathbf{x}\cdot \mathrm{\nabla }f(a\mathbf{x})$

נציב $a\mathbf{x}\cdot \mathrm{\nabla }f(a\mathbf{x})=kf(a\mathbf{x})$ ונקבל

$\frac{dg}{da}=-k{a}^{-k-1}f(a\mathbf{x})+a^{-k}\frac{kf(a\mathbf{x})}{a}=0$

לכן $g$ היא פונקציה קבועה.

נשים לב כי $g(1)=f(\mathbf{x})$, לכן לכל $a>0$ מתקיים $g(a)=f(\mathbf{x})$. כלומר $f(a\mathbf{x})=a^{k}f(\mathbf{x})$

תוצאה

עבור פונקציה $f:{\mathbb{ℝ}}^n\to \mathbb{ℝ}$ גזירה והומוגנית חיובית מסדר $k$ נקבל כי $\frac{\partial f}{\partial x_i}$ היא הומוגנית מסדר $k-1$. כלומר:

$\frac{\partial f}{\partial x_i}{|}_{cx}=c^{k-1}\frac{\partial f}{\partial x_i}{|}_x$

תוצאה זו מתקבלת מגזירת משפט אוילר לפי $x_i$. שכן על פי משפט אוילר:

$\mathbf{x}\cdot \mathrm{\nabla }f(\mathbf{x})=kf(\mathbf{x})$

נגזור לפי $x_i$ ונקבל

$\frac{\partial (\mathbf{x}\cdot \mathrm{\nabla }f(\mathbf{x}))}{\partial x_i}=\frac{\partial f}{\partial x_i}+\mathbf{x}\cdot \mathrm{\nabla }\frac{\partial f}{\partial x_i}=k\frac{\partial f}{\partial x_i}$

ולכן

$\mathbf{x}\cdot \mathrm{\nabla }\frac{\partial f}{\partial x_i}=(k-1)\frac{\partial f}{\partial x_i}$

הפעלת הצד השני של משפט אוילר תיתן את התוצאה.

קישורים חיצוניים

• .html פונקציה הומוגנית, באתר MathWorld (באנגלית)