אי-תלות אלגברית

במתמטיקה, ובמיוחד באלגברה קומוטטיבית, תת-קבוצה $S$ של אלגברה $A$ נקראת בלתי-תלויה אלגברית מעל שדה הבסיס $\mathbb{𝕂}$, אם לא קיים פולינום לא-טריוויאלי עם מקדמים מ-$\mathbb{𝕂}$ שמתאפס על ידי תת-קבוצה סופית של איברי $S$.
במילים אחרות, $S$ היא בלתי-תלויה אלגברית אם לכל ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n\in S$ ולכל פולינום $P\in \mathbb{𝕂}[x_1,\dots ,x_n]$ שאיננו פולינום האפס, מתקיים $P({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)\ne 0$.

בפרט, קבוצה בת איבר אחד $\{\alpha \}$ היא בלתי-תלויה אלגברית מעל $\mathbb{𝕂}$ אם ורק אם $\alpha$ הוא טרנסצנדנטי מעל $\mathbb{𝕂}$. באופן כללי יותר, כל איבריה של קבוצה בלתי-תלויה אלגברית הם איברים טרנסצנדנטיים מעל $\mathbb{𝕂}$, אך זהו בוודאי לא תנאי מספיק לכך.

לדוגמה, התת-קבוצה $\{\sqrt{\pi },2\pi +1\}$ של שדה המספרים הממשיים איננה בלתי-תלויה אלגברית מעל שדה המספרים הרציונליים, מכיוון שעבור הפולינום עם המקדמים הרציונליים

$P(x_1,x_2)=2x_1^2-x_2+1$

מתקיים $P(\sqrt{\pi },2\pi +1)=0$.

המספר הגדול ביותר של איברים בלתי-תלויים אלגברית נקרא דרגת הטרנסצנדנטיות של $A$ מעל $\mathbb{𝕂}$.

השאלה האם הקבוצה $\{\pi ,e\}$ היא תלויה אלגברית מעל $\mathbb{\mathbb{Q}}$ היא בעיה פתוחה במתמטיקה. ב-1996 הוכיח יורי נסטרנקו כי הקבוצה $\{\pi ,e^{\pi },\mathrm{\Gamma }(0.25)\}$ היא בלתי תלויה אלגברית מעל $\mathbb{\mathbb{Q}}$.

משפט לינדמן-ויירשטראס

ערך מורחב – משפט לינדמן-ויירשטראס

לעיתים קרובות ניתן להשתמש במשפט לינדמן-ויירשטראס (על שמם של פרדיננד לינדמן וקארל ויירשטראס) כדי להוכיח כי קבוצה מסוימת היא בלתי-תלויה אלגברית מעל $\mathbb{\mathbb{Q}}$.

לינדמן הוכיח ב-1882 כי ${\mathrm{e}}^{\alpha }$ הוא מספר טרנסצנדנטי לכל מספר אלגברי $\alpha \ne 0$.

ויירשטראס הוכיח ב-1885 את הגרסה הכללית יותר של המשפט, הטוענת כי אם ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$ הם מספרים אלגבריים בלתי-תלויים ליניארית מעל $\mathbb{\mathbb{Q}}$ אזי המספרים ${\mathrm{e}}^{{\alpha }_1},\dots ,{\mathrm{e}}^{{\alpha }_n}$ הם בלתי-תלויים אלגברית מעל $\mathbb{\mathbb{Q}}$.

ראו גם

• משפט הנורמליזציה של נתר

קישורים חיצוניים

• .html אי-תלות אלגברית, באתר MathWorld (באנגלית)