הדלתא של קרונקר

הדלתא של קרונקר (על שם המתמטיקאי הגרמני לאופולד קרונקר) היא סימון שימושי ביותר באלגברה ליניארית בפרט ובמתמטיקה ובפיזיקה בכלל.

${\delta }_{ij}=\{\begin{array}{ll}1& :i=j\\ 0& :i\ne j\end{array}$

כלומר, זו פונקציה של שני משתנים (בדרך כלל שלמים) המקבלת את הערך 1 כאשר המשתנים שווים זה לזה, ואת הערך 0 כאשר הם שונים זה מזה. פעמים רבות מתייחסים לדלתא של קרונקר כאל כתיב מקוצר, ולא כאל פונקציה.

משמעות

• אפשר להבין את ההגדרה לעיל פשוט כסימון מקוצר, שאפשר לשלב בביטויים בהם יש הפרדה למקרים, במקום לרשום ניסוח מילולי מייגע.
• אפשר להבין את ההגדרה לעיל ככתיב טנזורי של מטריצת היחידה, שכן אם נתייחס לאינדקסים של טנזור הדלתא כאל קואורדינטות במטריצה נקבל מטריצה שבה כל איברי האלכסון הם 1 ואילו כל השאר הם 0. לכן מקובל לרשום $\text{Id}=I={\delta }_{ij}$.
• כאשר מתייחסים לדלתא של קרונקר בתור טנזור, מקובל לרשום אותו בצורה ${\delta }_i^j$ כאשר אחד האינדקסים הוא קו-וריאנטי ואילו השני הוא קונטרה-וריאנטי.

תכונות

• סימטריה ביחס לאינדקסים: ${\delta }_{ij}={\delta }_{ji}$
• מבצע שינוי אינדקסים: $\sum _i{\delta }_{ij}{A}_i=A_j$
• זהות העקבה: $\sum _{i=1}^n{\delta }_{ii}=n$

ראו גם

• טנזור לוי-צ'יויטה
• פונקציית דלתא של דיראק
• טנזור
• אלגברה ליניארית
• מטריצה
• אורתוגונליות
• לאופולד קרונקר

קישורים חיצוניים

• .html הדלתא של קרונקר, באתר MathWorld (באנגלית)