הוכח כי הביטוי או (ביטוי זה הוא חלק מהסדרה ההרמונית) לעולם איננו שלם (עבור כל n טבעי).
| פתרון
|
| לשם חיבור כל השברים עלינו לעשות מכנה משותף. נסתכל על המספר הגדול ביותר מהצורה . כדי להגיע למכנה המשותף, יהיה עלינו להכפיל את המונה שלו במספר אי-זוגי (הרי המכנה המשותף איננו צריך להכיל יותר מ-m פעמים שתיים) כל שאר המונים יצאו מספרים זוגיים (מכפילים אותם לפחות ב-2 אחד) וסכום של מספריים זוגיים ומספר אי-זוגי אחד הוא אי-זוגי, כלומר המונה יהיה אי-זוגי. המכנה הוא כמובן זוגי, ולכן לא ייתכן שהמונה יתחלק במכנה, והסכום לעולם לא יהיה מספר שלם.
|
|