ספקטרום פרויקטיבי

בגאומטריה אלגברית ספקטרום פרויקטיבי הוא אנלוג פרויקטיבי של המושג ספקטרום של חוג. ספקטרום פרויקטיבי מתאים לחוג קומוטטיבי מדורג $A$ יריעה קוואזי-פרויקטיבית (או סכמה קוואזי-פרויקטיבית) $P r o j (A)$ , אם $A$ אלגברה נוצרת סופית מעל $A_{0}$ . למשל, אם $A = k [x_{0}, \dots, x_{n}]$ הוא חוג הפולינומים, מדורג כך שכל המשתנים בעלי דרגה 1, אז $P r o j (A)$ הוא המרחב הפרויקטיבי $ℙ_{k}^{n}$ . בגאומטריה אלגברית קלאסית יריעה פרויקטיבית $X \subset ℙ_{k}^{n}$ המוגדרת על-ידי משוואות הומוגניות $f_{i} (x_{0}, \dots, x_{n}) = 0, i = 1, \dots, m$ מתוארת על-ידי חוג מדורג $A = k [x_{0}, \dots, x_{n}] / (f_{1}, \dots, f_{m})$ עם הדירוג המושרה מהדירוג הסטנדרטי בחוג הפולינומים. בניית הספקטרום הפרויקטיבי משחזרת (בשפה של סכמות) את היריעה הפרויקטיבית $X$ מהחוג המדורג $A$ .

$P r o j (A)$ כקבוצה

יהי $A = \oplus_{i \geq 0} A_{i}$ חוג קומוטטיבי מדורג. אידיאל $I \subset A$ נקרא הומוגני אם $I = \oplus I_{i}, I_{i} = I \cap A_{i}$ . אוסף אברי $A$ בעלי דרגה חיובית $A_{+} = \oplus_{i > 0} A_{i}$ הוא אידיאל הומוגני הקרוי לעיתים אידיאל לא רלוונטי (אנ'). איברי $P r o j (A)$ הם האידיאלים הראשוניים המדורגים של $A$ שלא מכילים את $A_{+}$ .

טופולוגיית זריצקי על $P r o j (A)$

בדומה לטופולוגיה על הספקטרום של חוג קומוטטיבי, ניתן להגדיר על $P r o j (A)$ טופולוגיה על-ידי קביעת קבוצות $V (I) = {𝔭 \in P r o j (A) | 𝔭 \supset I}$ , כאשר $I$ אידיאל הומוגני, כקבוצות סגורות. זה מגדיר טופולוגיה על $P r o j (A)$ הנקראת טופולוגיית זריצקי. בסיס של הטופולוגיה ניתן על-ידי הקבוצות הפתוחות $D (f) = {𝔭 \in P r o j (A) | 𝔭 ∌ f}$ כאשר $f$ איבר הומוגני ב- $A$ . נציין כי $D (f)$ הומאומורפי לספקטרום של החוג $A_{(f)}$ , לוקליזציה הומוגנית של $A$ המוגדרת כאוסף שברים $\frac{a}{f^{k}}$ ב- $A_{f}$ בעלי דרגה $0$ .

מבנה של סכמה על $P r o j (A)$

כדי להגדיר מבנה של מרחב מחויג על $P r o j (A)$ , יש להגדיר עליו את אלומת המבנה $𝒪$ , אלומת הפונקציות הרגולריות. כיוון שהקבוצות הפתוחות $D (f)$ מהוות בסיס של טופולוגיה, מספיק להגדיר את חתכי אלומת המבנה רק על קבוצות אלה, וכן להגדיר את העתקות הצמצום $𝒪 (D (f)) \to 𝒪 (D (f g))$ לכל זוג איברים הומוגניים $f, g$ בחוג $A$ . הומיאומורפיזם בין $D (f)$ לבין הספקטרום של $A_{(f)}$ מאפשר להגדיר $𝒪 (D (f)) = A_{(f)}$ ולקבל את העתקות הצמצום באופן אוטומטי. כיוון שמרחב מחויג $D (f)$ איזומורפי, לפי הבנייה, לסכמה אפינית $S p e c (A_{(f)})$ , $P r o j (A)$ הוא סכמה.

מורפיזם סכמות $π : P r o j (A) \to S p e c (A_{0})$ מתקבל על-ידי הדבקה של המורפיסמים $S p e c (A_{(f)}) \to S p e c (A_{0})$ המוגדרים על-ידי מבנה של $A_{0}$ -אלגברה על $A_{(f)}$ . מורפיזם זה פרויקטיבי עם $A$ אלגברה נוצרת סופית מעל $A_{0}$ .

דוגמאות

המרחב הפרויקטיבי

הדוגמה הראשונה של ספקטרום פרויקטיבי היא $P r o j (A)$ כאשר $A = k [x_{0}, \dots, x_{n}]$ . הקבוצות הפתוחות $D (x_{i})$ מזוהות עם ספקטרה של חוגי הפולינומים $A_{(x_{i})} = k [\frac{x_{0}}{x_{i}}, \dots, \frac{x_{n}}{x_{i}}]$ , כך שבמקרה $k$ הוא שדה סגור אלגברית, הנקודות הסגורות של $P r o j (A)$ מזוהות עם המרחב הפרויקטיבי הקלאסי $ℙ_{k}^{n}$ . באופן כללי, הספקטרום הפרויקטיבי של $A [x_{0}, \dots, x_{n}]$ כאשר $A$ חוג קומוטטיבי כלשהו והמשתנים $x_{i}$ בעלי דרגה $1$ , נקרא המרחב הפרויקטיבי מעל $A$ המסומן $ℙ_{A}^{n}$ .

יריעות פרויקטיביות קלאסיות

יהי $k$ שדה סגור אלגברית, $A$ אלגברה מדורגת הנוצרת על-ידי איברים הומוגניים בעלי דרגה $1$ . זה גורר כי $A$ ניתן להציג כמנה של החוג המדורג $S = k [x_{0}, \dots, x_{n}]$ מודולו אידיאל הומוגני $J$ . זה מאפשר להציג $P r o j (A)$ כתת-סכמה סגורה של $ℙ_{k}^{n}$ . הנקודות הסגורות של $P r o j (A)$ הן נקודות $(x_{0} : \dots : x_{n})$ של $ℙ_{k}^{n}$ המקיימות משוואות של $J$ .

ניפוח של סכמה אפינית

תהי $X = S p e c (A)$ סכמה אפינית ותהי $Y = V (I)$ תת-סכמה סגורה הניתנת על-ידי אידיאל $I$ . ניפוח של $X$ ב- $Y$ אפשר לתאר כספקטרום פרויקטיבי של החוג המדורג $S = A \oplus I \oplus I^{2} \oplus \dots$

לקריאה נוספת

Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Springer-Verlag. ISBN 0-387-90244-9.