משפט בנך-שטיינהאוס

משפט בנך-שטיינהאוס, הידוע גם בשם עקרון החסימות במידה שווה, הוא משפט מתמטי יסודי וחשוב באנליזה פונקציונלית. עיקרון זה טוען עבור משפחה של העתקות ליניאריות רציפות על מרחב בנך, שאם יש חסם משותף לכל האופרטורים במשפחה בכל נקודה של המרחב, אז יש חסם אחיד על הנורמה שלהם.

משפט זה, יחד עם משפט האן-בנך ומשפט ההעתקה הפתוחה, נחשב לאחת משלוש אבני היסוד של האנליזה הפונקציונלית. גרסה מוקדמת של המשפט הופיעה במאמר של סטפן בנך והוגו שטיינהאוס ב-1927. המשפט הוכח באותו זמן גם על ידי האנס האן.

המשפט

יהי $X$ מרחב בנך ויהי $Y$ מרחב נורמי כלשהו. תהי ${ℱ}$ משפחה של העתקות ליניאריות רציפות $T_{\alpha }:X\to Y$.

אם לכל $x\in X$ הקבוצה $\{T_{\alpha }(x):T_{\alpha }\in {ℱ}\}$ חסומה, אז גם קבוצת הנורמות $\{||T_{\alpha }||:T_{\alpha }\in {ℱ}\}$ חסומה.

הוכחה

למשפט חשוב זה יש הוכחה קצרה המסתמכת על משפט הקטגוריה של בר (Baire).

לכל מספר טבעי $n$, נגדיר $X_n=\{x\in X:\Vert T_{\alpha }(x)\Vert \le n,\mathrm{\forall }{T}_{\alpha }\in {ℱ}\}$. לפי ההנחה, קיים חסם משותף בכל נקודה, ולכן $\bigcup _n{X}_n=X$. הקבוצות $X_n$ הן קבוצות סגורות, משום שהקבוצות ${Z}_n^{\alpha }=\{x\in X:\Vert T_{\alpha }(x)\Vert \le n\}$ סגורות לכל $\alpha$ בגלל הרציפות של $T_{\alpha }$, ולכן החיתוך $X_n=\bigcap _{\alpha }{Z}_n^{\alpha }$ גם הוא סגור.

בתור מרחב מטרי שלם, $X$ הוא מרחב בר ("מרחב מקטגוריה שנייה"), ולכן אחת מהקבוצות $X_n$ מכילה כדור פתוח: יש $\delta >0$ ו-$x_0\in X_n$ כך שאם $\Vert x-x_0\Vert <\delta$ אזי $x\in X_n$. נותר לתרגם את העובדה הזו לחסם המבוקש.

תהי $z\in X$ נקודה כך ש-$\Vert z\Vert \le \delta /2$, אז לפי אי-שוויון המשולש $\Vert T(z)\Vert =\Vert T(x_0+z)-T(x_0)\Vert \le \Vert T(x_0+z)\Vert +\Vert T(x_0)\Vert \le 2n$, וזאת לכל $T\in {ℱ}$. מכאן נובע שלכל $y\in X$ מנורמה $1$, מתקיים $\Vert T(y)\Vert =\frac{2}{\delta }\Vert T(\frac{1}{2}\delta y)\Vert \le \frac{2}{\delta }\cdot 2n$, כלומר $\Vert T\Vert \le 4n/\delta$. זהו חסם אחיד על הנורמות של ההעתקות הליניאריות במשפחה ${ℱ}$.

הערה. הוכחה זו מספיקה גם אם מחלישים את ההנחה המקורית, ומניחים רק שקבוצת הנקודות $x\in X$ שעבורן $\{T_{\alpha }(x):T_{\alpha }\in {ℱ}\}$ חסומה, היא קבוצה מקטגוריה שנייה.

קישורים חיצוניים

• .html משפט בנך-שטיינהאוס, באתר MathWorld (באנגלית)