מטריצת קושי

במתמטיקה, מטריצת קושי היא מטריצה A בגודל m×n שאיבריה נתונים על ידי:

a_{i j} = \frac{1}{x_{i} + y_{j}}; x_{i} + y_{j} \neq 0, 1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n

כאשר $x_{i}$ ו- $y_{j}$ הן סדרות של איברים השייכים לשדה $ℱ$ , כך שאיברי הסדרות שונים זה מזה.

תכונות

כאשר m=n, הדטרמיננטה של מטריצת קושי, הידועה בשם דטרמיננטת קושי נתונה על ידי הנוסחה המפורשת:

\det A = \frac{\prod_{i < j} (x_{i} - x_{j}) \prod_{i < j} (y_{i} - y_{j})}{\prod_{i, j} (x_{i} + y_{j})} .

מנוסחה זו, ומהעובדה שאיברי הסדרות שונים זה מזה, נקבל כי מטריצת קושי היא תמיד מטריצה הפיכה.
כל תת מטריצה של מטריצת קושי היא מטריצת קושי.

מטריצת הילברט היא מקרה פרטי של מטריצת קושי כאשר מתקיים

x_{i} + y_{j} = i + j - 1

A. Gerasoulis, A fast algorithm for the multiplication of generalized Hilbert matrices with vectors, Mathematics of Computation, 1988; vol. 50, no. 181, pp. 179-188.
I. Gohberg, T. Kailath, V. Olshevsky, Fast Gaussian elimination with partial pivoting for matrices with displacement structure. Mathematics of Computation, 1995; vol. 64, no. 212, pp. 1557-1576.
P.G. Martinsson, M. Tygert, V. Rokhlin, An $O (N \log^{2} N)$ algorithm for the inversion of general Toeplitz matrices, Computers & Mathematics with Applications, 2005; 50, pp. 741-752.