מונואיד חופשי

מונואיד חופשי הוא מבנה מתמטי, מהסוג מונואיד, המקיים את התכונה המאפיינת אובייקטים חופשיים.

הגדרה

קיימות מספר הגדרות שונות למונואיד חופשי.

מונואיד חופשי $(F, \cdot, 1_{F}, S)$ הוא רביעייה סדורה של קבוצה $F$ , פעולה $\cdot : F \times F \to F$ , איבר $1_{F} \in F$ , וקבוצה נוספת $S \subset F$ כך ש $(F, \cdot, 1_{F})$ מונואיד ומתקיים:

ההגדרות הבאות שקולות:

לכל $(M, *, 1_{M})$ מונואיד, ולכל $f : S \to M$ פונקציה, קיים הומומורפיזם יחיד $\tilde{f} : F \to M$ כך שמתקיים $\tilde{f} \circ i = f$ כאשר $i$ העתקת ההכלה (כלומר $i : S \to F, \forall a \in S : i (a) = a$ ). ניתן לראות הגדרה זו כ"חופש" של הקבוצה $S$ . כל ההומומורפיזמים של המונואיד $F$ נקבעים על ידי קבוצה זו, כלומר היא מהווה את כל ה"בשר" של המונואיד, ובנוסף כל "בחירה" של אברי $S$ "לאן ללכת" מייצרת הומומורפיזם, מה שניתן לראות כ"חופש" של אברי $S$ .^[1]
$S$ יוצרת את $F$ , וגם לכל מספר טבעי $n > 0$ ולכל ${s_{i}}_{i = 1}^{n} \subset S$ מתקיים: $s_{1} \cdot \dots \cdot s_{n} = \prod_{i = 1}^{n} s_{i} \neq 1_{F}$ . ניתן להבין תנאי זה כחוסר ביחסים בין איברי הקבוצה $S$ . אם הייתה קיימת מכפלה כזו השווה ל $1_{F}$ יכולנו להבין מכפלה כזו כיחס שאברי הקבוצה מקיימים.^[1]

דוגמאות

המספרים הטבעיים $ℕ$

הדוגמה הפשוטה ביותר למונואיד חופשי היא המספרים הטבעיים עם פעולת החיבור הרגילה, האיבר $0$ המהווה איבר נטרלי (בערך זה קבוצת המספרים בטבעיים כוללת את המספר $0$ ), ו ${1}$ מהווה את $S$ .

כלומר הקבוצה $F$ מכילה מספרים כמו $0, 1, 2, 3, 45, 100, 6$ וכו', הפעולה חיבור פועלת באופן הבא: $1 + 1 = 2, 20 + 5 = 25$ וכו'. האיבר 0 פועל באופן נטרלי: $0 + 1 = 1, 4 + 0 = 4, 84 + 0 = 84$ וכו'. וניתן לוודא גם את הגדרה 1 וגם את הגדרה 2.

כוכב קלין

ערך מורחב – כוכב קלין

כוכב קלין של קבוצה כלשהי של תווים $A$ מסומן ב- $A^{*}$ ומהווה למעשה מונואיד חופשי ביחס לשרשור המהווה כפל, המילה הריקה המהווה 1, ו- $A$ המהווה את הקבוצה $S$ . לדוגמה אם $A = {a, b, c}$ אז $A^{*}$ מכיל איברים כגון $a, a b a b, a a a b b c b a$ וכו'. הפעולה שרשור פועלת לדוגמה באופן הבא: $a b * c a = a b c a$ .^[2]

תתי-מונואידים של המונואיד החופשי

הגדרת תת-מונואיד

יהי $(M, *, 1_{M})$ מונואיד. אומרים כי $L$ תת-מונואיד של $(M, *, 1_{M})$ אם ורק אם מתקיימות הטענות הבאות:

$L \subseteq M$ .
אם $a, b \in L$ אזי $a * b \in L$ .
$1_{M} \in L$ .

חיתוך של תתי-מונואידים

משפט: יהי $(F, \cdot, 1_{F}, S)$ מונואיד חופשי. תהי ${L_{α}}_{α \in I}$ קבוצה של תתי-מונואידים של $(F, \cdot, 1_{F}, S)$ כך שלכל $α \in I$ מתקיים כי $L_{α}$ מונואיד חופשי. אזי מתקיים $⋂_{α \in I} L_{α}$ מונואיד חופשי.^[1]

ראו גם

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא מונואיד חופשי בוויקישיתוף המזהה לא מולא ולא נמצא בוויקינתונים, נא למלא את הפרמטר.

[1]

הערות שוליים

^ ¹ ² ³ words, ‏02
^ Group Theory AMS-ASL Joint Special Session Interactions Between Logic, Alexandre Borovik, American Mathematical Society, Ams-asl Joint Special Session on Interac, Groups, Languages, Algorithms: AMS-ASL Joint Special Session on Interactions Between Logic, Group Theory, and Computer Science, January 16-19, 2003, Baltimore, Maryland, American Mathematical Soc., 2005. (בEnglish)

[הערה_מספר_24903958:0-1] ¹ ² ³ words, ‏02

[2] Group Theory AMS-ASL Joint Special Session Interactions Between Logic, Alexandre Borovik, American Mathematical Society, Ams-asl Joint Special Session on Interac, Groups, Languages, Algorithms: AMS-ASL Joint Special Session on Interactions Between Logic, Group Theory, and Computer Science, January 16-19, 2003, Baltimore, Maryland, American Mathematical Soc., 2005. (בEnglish)

[1]

[2]