משפט פרובניוס (תורת החבורות)

משפט פרובניוס בתורת החבורות, אומר שלכל מחלק $d$ של הסדר של חבורה $G$, מספר האיברים בחבורה הפותרים את המשוואה $x^d=1$ מתחלק ב-$d$. המשפט נקרא ע"ש פרדיננד גאורג פרובניוס שהוכיח אותו בשנת 1895.

ניסוח המשפט

תהי G חבורה ויהי $d$ מחלק של הסדר $|G|$. נסמן ב $A_d=\{x\in G\mid x^d=e\}$ את אוסף האיברים מסדר המחלק את $d$. אזי $d\mid |A_d|$.

הוכחה

נעזר בעובדה הבאה מתורת החבורות:

כל איבר מסדר $nm$, כאשר $n,m$ זרים, אפשר לפרק בצורה $x=yz$ כאשר $zy=yz=x,o(y)=n,o(z)=m$ (למעשה אפשר לבחור את $y,z$ להיות חזקות של $x$).

נעזר גם בלמה הבאה:

למה: לכל n אם $A_n$ לא ריקה אז $\varphi (n)\mid |A_n|$ כאשר $\varphi$ היא פונקציית אוילר. בנוסף אם $d\mid |G|$ מהצורה $d=p^{\alpha }s$ כאשר $p^{\alpha +1}\mid |G|,(p,s)=1$ ואם $A=A_{dp}\setminus A_d$ אז $A$ ריקה או ש $\varphi (p^{\alpha +1})\mid |A|$.

הוכחה: נתבונן ביחס השקילות הבא: $x\equiv y⟺⟨x⟩=⟨y⟩$, כלומר הם יוצרים אותה תת-חבורה. מתקיים $x\equiv x^t⟺(t,o(x))=1$. לכן מס' האיברים במחלקת השקילות של x הוא $\varphi (o(x))$. מקבלים ש $A_n$ איחוד של מחלקות שקילות של איברים מסדר n ונקבל ש $\varphi (n)\mid |A_n|$. נרשום את A בצורה הבאה: $A=\{x\in G\mid o(x)=p^{\alpha +1}{s}_1,s1\mid s\}$. אם A אינה ריקה נקבל ש$A=\bigcup _{s1\mid s}\bigcup _{o(x_i)=p^{\alpha +1}{s}_1}[x]$ כאשר $[x]$ מסמן את המחלקה של $x$. כל אחת מהחלקות המשתתפות באיחוד מתחלקת ב $\varphi (p^{\alpha +1}{s}_1)=\varphi (p^{\alpha +1})\varphi (s_1)$. ונקבל את הדרוש.

הוכחת המשפט:

יהו $d\mid n:=|G|$. ההוכחה באינדוקציה כפולה על $n,d$. מקרה הבסיס $n=1$ או $d=n$ טריוויאליים. נניח שהוכחנו לכל חבורה קטנה יותר ולכל מחלק גדול יותר של החבורה נראה נכונות עבור d,n: יהי $p\mid \frac{|G|}{d},d=p^{\alpha }s,(s,p)=1$. תהי $A=A_{dp}\setminus A_d$. מתקיים $|A_d|=|A_{dp}|-|A|$.

מאינדוקציה נקבל כי $dp\mid |A_{dp}|$ ולכן מספיק להראות ש $d\mid |A|$. אם A ריקה זה ברור. נניח ש-A אינה ריקה. מהלמה $p^{\alpha }(p-1)=\varphi (p^{\alpha +1})\mid |A|$ ולכן מספיק להראות ש $s\mid |A|$. נרשום$A=\{x\in G\mid o(x)=p^{\alpha +1}{s}_1,s1\mid s\}$ ומהעובדה שצוטטה לעיל נקבל שלכל x ב-A ישנם y,z כך ש $x=yz=zy,o(y)=p^{\alpha +1},z^s=e$. נסמן ב $C(a)=C(⟨a⟩)$ את המרכז של a וב $\mathrm{conj}(a)$ את מחלקת הצמידות של $a$. עבור $a$ ב $G$ נגדיר $S_a=\{ab\mid b^s=e,b\in C(a)\},S_{\mathrm{conj}(a)}=\bigcup _{x\in \mathrm{conj}(a)}{S}_x$. מקבלים ש $A=\bigcup _{o(a)=p^{\alpha +1}}{S}_a$. נראה שזהו איחוד זר. אכן יהיו $o(a)=o(a_1)=p^{\alpha +1},ab=ba=b_1{a}_1=a_1{b}_1,b^s=b_1^s=1$. נקבל ש $a^s=a^s{b}^s=(ab{)}^s=(a_1{b}_1{)}^s=a_1^s{b}_1^s=a_1^s$. כיוון ש$o(a)=o(a_1)=p^{\alpha +1}$ וכן $(s,p)=1$נקבל ש $a=a_1$ והראנו שהאיחוד זר. לכן מספיק להראות ש $s\mid |S_{\mathrm{conj}(a)}|$ לכל a מסדר $p^{\alpha +1}$. נשים לב שהעתקה $\mathrm{\Phi }:S_a\to S_{x^{-1}ax},ab\to x^{-1}ax{x}^{-1}bx$ היא התאמה חח"ע ועל ולכן $|S_{\mathrm{conj}(a)}|=|\mathrm{conj}(a)||S_a|$. יהי $k=|C(a)/⟨a⟩|,m=(s,k)$. ההתאמה $ab\to b⟨a⟩$ היא התאמה חח"ע ועל מ $S_a$ ל $\{y\in C(a)/⟨a⟩\mid y^s=e\}=\{y\in C(a)/⟨a⟩\mid y^m=e\}$. כיוון ש-k<n נקבל מהנחת האינדוקציה ש $m\mid |\{y\in C(a)/⟨a⟩\mid y^m=e\}|=|S_a|$ ולכן $|S_a|=cm$. ממשפט מסלול מייצב נקבל ש $|\mathrm{conj}(a)|=\frac{|G|}{|C(a)|}$ ולכן $|S_{\mathrm{conj}(a)}|=|\mathrm{conj}(a)||S_a|=\frac{|G||S_a|}{|C(a)|}=\frac{ncm}{k{p}^{\alpha +1}}$. כיוון שגם $k$ וגם $s$ מחלקים את $n$ נקבל שגם הכפולה המשותפת המינימלית שלהם $\mathrm{lcm}(k,s)=\frac{ks}{m}$ מחלקת את $n$. לכן $s$ מחלק את $\frac{ncm}{k}$. מכיוון ש $(s,p)=1$ נקבל ש $s\mid |S_{\mathrm{conj}(a)}|$ וסיימנו.

שימושים

1) משפט פרובניוס מאפשר להראות שחבורות רבות אינן פשוטות ואפילו לתאר את המבנה שלהם.

מסקנה 1: תהי G חבורה כך ש $|G|=\prod _{i=1}^r{p}_i^{{\alpha }_i}$ ו $p_i$ סדרה עולה. נניח שכל תת חבורה p סילו היא ציקלית. במקרה כזה תת-חבורת $p_r$ סילו היא נורמלית ב $G$ ובנוסף $G$ חבורה פתירה. בפרט אם $|G|$חופשית מריבועיים אז היא פתירה ותת חבורת $p_r$ סילו שלה היא נורמלית.

הוכחה: נוכיח באינדוקציה על $d$ ש $d=|A_d|$ עבור $d\mid |G|$ כך ש $d=p_k^{{\beta }_k}\prod _{i=k+1}^r{p}_i^{{\alpha }_i}1\le k\le r,{\beta }_k\le {\alpha }_k$. המקרה של $d=|G|$ ברור. נניח שהראנו לכל מחלק $d^{\prime }$ מהצורה לעיל הגדול מ $d$, ונוכיח כעת עבור $d$. יהי $p$ המחלק הראשוני הגדול ביותר של $\frac{|G|}{d}$. תהי$A=A_{dp}/A_d$. כיוון שחבורות $p$ סילו ציקליות, $A$ לא ריקה. מהנחת האינדוקציה $|A_{dp}|=dp$. ממשפט פרובניוס קיים $1\le t<p$ כך ש $|A_d|=dt$. מהלמה בהוכחת משפט פרובניוס נקבל ש $p-1\mid dp-dt=d(p-t)$ מהצורה של $d$ כל מחלק של $d$ הוא לפחות $p$ ולכן $(p-1,d)=1$ לכן $p-1\mid (p-t)$ ולכן $t=1$. קיבלנו לכן ש $d=|A_d|$ עבור d מהצורה הנ"ל. בפרט עבור $d=p_r^{{\alpha }_r}$נקבל ש $|A_{p_r^{{\alpha }_r}}|=p_r^{{\alpha }_r}$ ונקבל שתת-חבורת ה $p_r$ סילו $N$ יחידה ולכן נורמלית. מאינדוקציה $N$,$G/N$ פתירות ונקבל את הדרוש. ה"בפרט" נובע מכך שכל חבורה מסדר ראשוני היא ציקלית.

באופן דומה מוכיחים את המסקנה הנוספת הבאה:

מסקנה 2: לכל n קיימת חבורה בגודל n שאינה ציקלית אמ"מ $(n,\varphi (n))\ne 1$.

2) על ידי חישוב $|A_d|$ בחבורות ספציפיות ניתן לקבל זהויות בתורת המספרים. למשל לכל ראשוני p ולכל $p\le n$ על ידי חישוב $|A_p|$ בחבורה הסימטרית $S_n$ ניתן להראות כי מתקיים:$\sum _{k=1}^{\lfloor \frac{n}{p}\rfloor }\frac{n!}{p^{k}k!(n-pk)!}\equiv -1(\mathrm{mod}p)$.

תוצאות נוספות

• גרסה כללית יותר (הול 1959 משפט 9.1.1) היא שאם $C$ היא מחלקת צמידות עם $h$ איברים אזי מספר האיברים $k$ כך ש $k^n$ נמצא ב $C$ מתחלק ב $(hn,|G|)$.
• פרובניוס שיער שאם $d\mid |G|$ ו $d=|A_d|$ אז $A_d⊲G$, תת-חבורה נורמלית של $G$. ההשערה הוכחה בשנת 1991 תוך שימוש במשפט המיון לחבורות סופיות פשוטות לאחר עבודה רבה.

ראו גם

• משפטי סילו

קישורים חיצוניים

• הוכחת המשפט ושימושים