הצגת המקור של הדף "קוהומולוגיית צ'ך"

{{סימון מתמטי}}
ב[[מתמטיקה]], '''קוהומולוגיית צ'ך''' היא [[קוהומולוגיה]] המוגדרת על [[אלומה (מתמטיקה)|אלומות]] על [[מרחב טופולוגי|מרחבים טופולוגיים]]. היא קרויה על שמו של [[אדוארד צ'ך]].

קוהומולוגיית צ'ך היא כלי המאפשר לבצע חישובים על מידע גלובלי של [[מרחב (מתמטיקה)|מרחב]] מתוך תכונות מקומיות של אותו המרחב. באופן יותר פורמלי, קוהומולוגיית צ'ך בנויה על מנת לקודד מידע על החתכים הגלובליים של ה[[אלומה (מתמטיקה)|אלומה]] עליה היא מוגדרת.

==בניה==
נניח כי ''X'' הוא [[מרחב טופולוגי]] וכי <math>\mathcal{F}</math> היא אלומה של [[חבורה אבלית|חבורות אבליות]] על ''X''. על מנת לבנות את קוהומולוגיית צ'ך נבנה תחילה את '''קומפלקס צ'ך''', [[קומפלקס קו-שרשרת]] שבעזרתו תוגדר הקוהומולוגיה.

===קו-שרשראות===
נניח כי <math>\mathcal{U} = \{U_{\alpha}\}_{\alpha \in I}</math> הוא [[כיסוי (טופולוגיה)|כיסוי]] [[קבוצה פתוחה|פתוח]] של ''X'' וכי קבוצת האינדקסים ''I'' היא [[סדר חלקי|קבוצה סדורה חלקית]]. נגדיר חבורות קו-שרשראות על <math>\mathcal{U}</math> עם ערכים ב<math>\mathcal{F}</math> באופן הבא:
* 0-קו-שרשראות יוגדרו להיות פונקציות השולחות כל קבוצה פתוחה <math>\,U_{\alpha}</math> לאיבר בחבורה <math>\,\mathcal{F}(U_{\alpha})</math>. כלומר, נוכל לרשום:
:<math>C^0(\mathcal U, \mathcal F) = \prod_{\alpha}\mathcal F(U_\alpha)</math>
:קבוצה זו היא [[מכפלה ישרה]] של חבורות אבליות, ולפיכך יש לה מבנה של חבורה אבלית.
* באופן דומה, 1-קו-שרשראות יוגדרו להיות פונקציות השולחות כל חיתוך <math>U_{\alpha} \cap U_{\beta}</math> של שתי קבוצות פתוחות שונות בכיסוי <math>\,\mathcal{U}</math> לאיבר בחבורה <math>\,\mathcal{F}(U_{\alpha} \cap U_{\beta})</math>. כלומר, נוכל לרשום:
:<math>C^1(\mathcal U, \mathcal F) = \prod_{\alpha < \beta}\mathcal F(U_{\alpha}\cap U_{\beta})</math>
* באופן כללי, נגדיר q-קו-שרשראות על ידי:
:<math>C^q(\mathcal U, \mathcal F) = \prod_{\alpha_0 < \alpha_1 < \cdots < \alpha_q}\mathcal F(U_{\alpha_0}\cap U_{\alpha_1}\cap\cdots\cap U_{\alpha_q}).</math>
אוסף ה-q-קו-שרשראות מהווה חבורה אבלית לכל ''q''.

===אופרטור השפה===
על מנת להפוך את חבורות הקו-שרשרת שהוגדרו לעיל ל[[קומפלקס שרשרת|קומפלקס קו-שרשרת]], נגדיר העתקת שפה:
:<math>\delta_q : C^q(\mathcal U, \mathcal F) \to  C^{q+1}(\mathcal U, \mathcal F).</math>
על מנת לפשט את הסימון, נסמן <math>U_{\alpha \beta} = U_{\alpha} \cap U_{\beta}</math>, ובאופן דומה עבור כמות גדולה יותר של אינדקסים.

בהינתן איבר <math> \omega \in C^{q}(\mathcal U,\mathcal F) </math>
נגדיר:
:<math>(\delta\omega)_{\alpha_{0} \cdots \alpha_{q+1}} = \sum_{i=0}^{q+1}(-1)^i\,\omega_{\alpha_0\cdots\check{\alpha}_i\cdots\alpha_{q+1}}.</math>
כאשר <math>\check{\alpha}_i</math> מסמן שמשמיטים באותו האיבר את האינדקס ה-''i'', למשל
<math>\omega_{\alpha_1 \check{\alpha_2} \alpha_3} = \omega_{\alpha_1 \alpha_3}</math>.
נזכור כי <math> \delta\omega \in C^{q+1}(\mathcal U,\mathcal F) </math> היא פונקציה המתאימה לכל אוסף של ''q+2'' אינדקסים שונים <math>\alpha_0 < \alpha_1 < \dots < \alpha_{q} < \alpha_{q+1} </math> איבר בחבורה האבלית <math>\mathcal{F}(U_{\alpha_0 \alpha_1 \dots \alpha_q \alpha_{q+1}})</math>. בהינתן אוסף אינדקסים כזה, לכל <math>0 \le i \le q+1</math> האיבר <math>\omega_{\alpha_0 \alpha_1 \dots \check{\alpha_i} \dots \alpha_q \alpha_{q+1}}</math> שייך לחבורה האבלית <math>\mathcal{F}(U_{\alpha_0 \alpha_1 \dots \check{\alpha_i} \dots \alpha_q \alpha_{q+1}})</math>. מכיוון ש<math>\mathcal{F}</math> היא אלומה, הרי שניתן בעזרת הומומורפיזם הצמצום של <math>\mathcal{F}</math> לצמצם איבר זה לאיבר בחבורה <math>\mathcal{F}(U_{\alpha_0 \dots \alpha_i \dots \alpha_q \alpha_{q+1}})</math>
(שהרי בבירור מתקיים <math>U_{\alpha_0 \alpha_1 \dots \alpha_i \dots \alpha_q \alpha_{q+1}} \subseteq U_{\alpha_0 \alpha_1 \dots \check{\alpha_i} \dots \alpha_q \alpha_{q+1}}</math>)
את האיבר מהתקבל לאחר הצמצום נסמן גם כן על ידי <math>\omega_{\alpha_0 \alpha_1 \dots \check{\alpha_i} \dots \alpha_q \alpha_{q+1}}</math>.
מכיוון שלכל ''i'', לאחר הצמצום איבר זה שייך לחבורה האבלית <math>\mathcal{F}(U_{\alpha_0 \dots \alpha_i \dots \alpha_q \alpha_{q+1}})</math>, הרי שניתן לחבר ולחסר איברים אלה, ולכן <math>(\delta \omega)_{\alpha_0 \alpha_1 \dots \alpha_q \alpha_{q+1}}</math> [[מוגדר היטב|מוגדרת היטב]].
ניתן להראות על ידי חישוב ישיר שמתקיים <math>\delta^2 = \delta \circ \delta = 0</math>, ולכן <math>(C^q (\mathcal{U},\mathcal{F}),\delta)</math> הוא אכן קומפלקס קו-שרשרת.

====דוגמה====
נניח כי <math>f \in C^0(\mathcal{U},\mathcal{F})</math> היא 0-קו-שרשרת. אז לכל <math>\alpha \in I</math>, מתקיים <math>f_{\alpha} \in \mathcal{F}(U_\alpha)</math>. לכל זוג אינדקסים שונים <math>\alpha, \beta \in I</math> כך ש<math>\,\alpha < \beta</math> מתקיים <math>(\delta_0 f)_{\alpha \beta} \in \mathcal{F}(U_\alpha \cap U_\beta)</math>, ובאופן מפורש:
<math>(\delta_0 f)_{\alpha \beta} = {f_\alpha}|_{U_\alpha \cap U_\beta} - {f_\beta}|_{U_\alpha \cap U_\beta}</math>

====חישוב הגרעין של <math>\,\delta_0</math>====
נניח כי <math>f \in \ker \delta_0</math>. אז לכל <math>\alpha, \beta \in I</math> כך ש<math>\,\alpha < \beta</math> מתקיים <math>f_{\alpha}|_{U_{\alpha \beta}} - f_{\beta}|_{U_{\alpha \beta}} = 0</math>. כלומר, על כל חיתוך של זוג קבוצות פתוחות <math>U_\alpha \cap U_\beta</math> מתקיים <math>f_{\alpha}|_{U_{\alpha \beta}} = f_{\beta}|_{U_{\alpha \beta}}</math>. לפיכך, [[אקסיומת ההדבקה]] של האלומה <math>\mathcal{F}</math> מתקיימת, ולכן קיים חתך גלובלי <math>f_X \in \mathcal{F}(X)</math>, כך שלכל <math>\alpha \in I</math> מתקיים <math>f_X |_{U_\alpha} = f_\alpha</math>.
גם ההפך נכון, בהינתן חתך גלובלי <math>f_X \in \mathcal{F}(X)</math>, נוכל להגדיר 0-קושרשרת <math>f\in C^0(\mathcal{U},\mathcal{F})</math> על ידי <math>\,f_{\alpha} = f_X |_{U_{\alpha}}</math>, ובבירור מתקיים <math>f \in \ker \delta_0</math>.
לפיכך, הגרעין של <math>\,\delta_0</math> שווה בדיוק לחבורת החתכים הגלובליים של האלומה <math>\,\mathcal{F}</math>, כלומר <math>\ker \delta_0 = \mathcal{F}(X)</math>.

===קוהומולוגיה===
'''קוהומולוגיית צ'ך''' ביחס לכיסוי <math>\mathcal{U}</math> עם ערכים ב<math>\mathcal{F}</math> מוגדרת להיות הקוהומולוגיה של הקומפלקס-קושרשרת שהוגדר לעיל. במילים אחרות, חבורות הקוהומולוגיה ה-q מוגדרת על ידי:
:<math>H^q(\mathcal U,\mathcal F) = \ker\delta_q / \operatorname{im}\,\delta_{q-1}</math>

קוהומולוגיית צ'ך של המרחב ''X'' מוגדרת באמצעות [[כיסוי (טופולוגיה)|עידונים]] של הכיסויים השונים על ''X''. אם <math>\mathcal{V}</math> הוא עידון של הכיסוי <math>\mathcal{U}</math>, אז מהעתקות הצמצום של האלומה נקבל העתקה מושרית בקוהומולוגיה 
:<math>H^{q}(\mathcal U,\mathcal F) \to H^{q}(\mathcal V,\mathcal F).</math>
לכל ''q''.
קבוצת כל הכיסויים הפתוחים על ''X'' היא [[קבוצה מכוונת]] (על ידי עידונים), ולכן ההעתקה המושרית יוצרת [[מערכת מכוונת]] של חבורות אבליות. '''קוהומולוגיית צ'ך''' של ''X'' מוגדרת להיות ה[[גבול ישר|גבול הישר]] של מערכת זו:
:<math>H(X,\mathcal F) = \varinjlim_{\mathcal U} H(\mathcal U,\mathcal F).</math>

==כיסוי לרה ומשפט לרה==

===כיסוי לרה===
כיסוי <math>\mathcal{U} = \{U_{\alpha}\}_{\alpha \in I} </math> נקרא '''כיסוי לרה''' (על שם המתמטיקאי הצרפתי [[ז'אן לרה]]) אם לכל קבוצה <math>U = U_{\alpha_1 \dots \alpha_q}</math> שהיא חיתוך של מספר סופי של קבוצות מהכיסוי ולכל <math>\,q\ge 1</math> מתקיים <math>H^q(U,\mathcal{F}|_{U}) = \{0\}</math>. כלומר, לכל חיתוך של מספר סופי של קבוצות מהכיסוי ''U'', קוהומולוגיית צ'ך של המרחב הטופולוגי ''U'' (עם ה[[טופולוגיה מושרית|טופולוגיה המושרית]]), מתאפסת.

===משפט לרה===
נניח ש''X'' הוא מרחב טופולוגי, <math>\mathcal{F}</math> אלומה על ''X'', ו-<math>\mathcal{U} = \{U_{\alpha}\}_{\alpha \in I}</math> הוא כיסוי לרה. אז קוהומולוגיית צ'ך של ''X'' ביחס לאלומה <math>\mathcal{F}</math> שווה לקוהומולוגיית צ'ך של ''X'' ביחס לכיסוי <math>\mathcal{U}</math>. כלומר לכל <math>q\ge 0</math> מתקיים <math>H^q(X,\mathcal{F}) = H^q(\mathcal{U},\mathcal{F})</math>.

למשפט לרה חשיבות רבה משום שהוא מאפשר במקרים רבים לחשב את קוהומולוגיית צ'ך של מרחב טופולוגי באופן מפורש.

==ראו גם==
* [[קיומן של פונקציות מרומורפיות לא קבועות על משטח רימן קומפקטי]] - דוגמה להוכחה המשתמשת בקוהומולוגיית צ'ך.

== לקריאה נוספת ==
<div class="mw-content-ltr">
* Algebraic curves and Riemann Surfaces - Rick Miranda, AMS press 1995
* Robin Hartshorne (1997). Algebraic Geometry. Springer-Verlag. {{ISBN|0-387-90244-9}}.  
</div>

== קישורים חיצוניים ==
* [http://planetmath.org/encyclopedia/CechCohomologyGroup2.html ערך על קוהומולוגיית צ'ך באתר PlanetMath]

[[קטגוריה:טופולוגיה אלגברית]]
[[קטגוריה:תורת האלומות]]
[[קטגוריה:משטחי רימן]]