הצגת המקור של הדף "קבוצה מקטגוריה ראשונה"

{{סימון מתמטי}}
ב[[מתמטיקה]], ובפרט ב[[טופולוגיה]], '''קבוצה מקטגוריה ראשונה''' (נקראת גם '''קבוצה דלה''', ב[[אנגלית]]: meagre set) היא [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] אשר נוצרת מ[[איחוד (מתמטיקה)|איחוד]] [[קבוצה בת מנייה|בן-מניה]] של [[קבוצה דלילה|קבוצות דלילות]].<ref>{{קישור כללי|כתובת=https://mathworld.wolfram.com/|הכותב=Eric W. Weisstein|כותרת=First Category|אתר=mathworld.wolfram.com|שפה=en|תאריך_וידוא=2023-08-26}}</ref> קבוצה אשר איננה קבוצה מקטגוריה ראשונה נקראת '''קבוצה מקטגוריה שניה'''.

לקבוצות מקטגוריה ראשונה חשיבות רבה בניסוח [[משפט הקטגוריה של בר]], [[משפט (מתמטיקה)|משפט]] מרכזי בטופולוגיה וב[[אנליזה פונקציונלית]].

== הגדרות מתמטיות ==
בהינתן [[מרחב טופולוגי|מרחב טופלוגי]] <math>X</math> עם טופולוגיה <math>\mathcal{T}</math> וקבוצה <math>N\subseteq X</math>, הקבוצה <math>N</math> תקרא '''קבוצה דלילה''' [[אם ורק אם]] היא מקיימת את אחד מהתנאים השקולים הבאים:

# ה[[פנים (טופולוגיה)|פנים]] של ה[[סגור (טופולוגיה)|סגור]] שלה ריק, כלומר <math>\operatorname{Int}(\operatorname{Cl}(N))=\emptyset </math>
# לכל [[קבוצה פתוחה]] <math>\emptyset \ne U\in \mathcal{T}</math> קיימת קבוצה פתוחה <math>\emptyset \ne V \in\mathcal{T} </math> כך ש-<math>V\subseteq U</math> ו-<math>V\cap N=\emptyset</math>

קבוצה <math>A\subseteq X</math> תקרא '''קבוצה מקטגוריה ראשונה''' אם ורק אם היא ניתנת לכתיבה כ-<math>A = \bigcup_{i=1}^\infty{N_i}</math> כאשר <math>N_i</math> כולן קבוצות דלילות. מאידך, <math>A</math> תקרא '''קבוצה מקטגוריה שניה''' אם ורק אם היא אינה מקטגוריה ראשונה.

'''הערות בנוגע לניסוח''':
# ב[[אנגלית]] נקראת קבוצה מקטגוריה ראשונה גם כ-Meager Set שפרושו המילולי הוא ''קבוצה דלה'' או ''קבוצה דלילה'', אולם ב[[עברית]] המונח קבוצה דלילה נוגע לקבוצות שהן Nowhere Dense.
# אין קשר בין קבוצות מקטגוריה ראשונה (או שנייה) ל[[תורת הקטגוריות]].

== מרחבי בר ומשפט הקטגוריה של בר ==
[[מרחב בר]] הוא מרחב טופולוגי שעבורו ה[[משלים (מתמטיקה)|משלים]] לכל קבוצה מקטגוריה ראשונה הוא קבוצה צפופה.<ref>{{צ-מאמר|מחבר=R. C. Haworth, R. A. McCoy|שם=Baire spaces|שנת הוצאה=1977|קישור=https://eudml.org/doc/268479}}</ref> [[משפט הקטגוריה של בר]] מוכיח כי כל [[מרחב מטרי שלם]] וכל [[מרחב רגולרי]] [[מרחב קומפקטי מקומית|קומפקטי מקומית]] הם מרחבי בר.<ref>{{קישור כללי|כתובת=https://mathworld.wolfram.com/|הכותב=Eric W. Weisstein|כותרת=Baire Category Theorem|אתר=mathworld.wolfram.com|שפה=en|תאריך_וידוא=2023-08-26}}</ref> ממשפט זה נובע כי <math>\mathbb{R}</math> הוא מרחב בר.

== הגדרה אלטרנטיבית באמצעות משחק בנך-מזור ==
ניתן להגדיר את המונח קבוצה מקטגוריה ראשונה באמצעות [[משחק טופולוגי|המשחק הטופולוגי]] [[משחק בנך-מזור]]. עבור מרחב טופולוגי <math>X</math> וקבוצה <math>A\subseteq X</math>, משחק בנך-מזור משוחק על-ידי שני שחקנים [[אליס ובוב]]. בתחילת המשחק אליס בוחרת קבוצה פתוחה <math>U_1\subseteq X</math> ובוב בוחר בעקבותיה קבוצה פתוחה <math>U_2\subseteq U_1</math>. לאחר מכן אליס בוחרת קבוצה פתוחה נוספת <math>U_3\subseteq U_2</math> ובוב ממשיך בבחירת קבוצה פתוחה <math>U_4\subseteq U_3</math>. המשחק נמשך עד לאינסוף. אליס מנצחת את המשחק אם <math>A\cap\bigcap_{n=1}^\infty{U_n}\ne \emptyset</math>. אחרת, בוב מנצח.<ref>{{קישור כללי|כתובת=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Banach-Mazur_game|כותרת=Banach-Mazur game - Encyclopedia of Mathematics|אתר=encyclopediaofmath.org|תאריך_וידוא=2023-08-26}}</ref>

ניתן להוכיח כי בוב יכול לשחק לפי אסטרטגיה מנצחת (כלומר, תוכנית פעולה שתבטיח את ניצחונו לכל בחירת פעולות של אליס) אם ורק אם <math>A</math> היא קבוצה מקטגוריה ראשונה. בכך, ניתן להגדיר באופן אלטרנטיבי קבוצה מקטגוריה ראשונה להיות קבוצה שעבורה יש לבוב אסטרטגיה מנצחת במשחק בנך-מזור.

== דוגמאות ==
* כל קבוצה דלילה היא קבוצה מקטגוריה ראשונה.
* קבוצת המספרים הרציונליים <math>\mathbb{Q}</math> היא קבוצה מקטגוריה ראשונה תחת <math>\mathbb{R}</math> עם הטופולוגיה הסטנדרטית, אך היא אינה קבוצה דלילה (למעשה, היא [[קבוצה צפופה]])
* [[הקבוצה הריקה]] <math>\emptyset</math> היא מהקטגוריה הראשונה בכל מרחב טופולוגי.
* אם <math>A\subseteq X</math> היא קבוצה מקטגוריה ראשונה, אז כל <math>B\subseteq A</math> גם היא מקטגוריה ראשונה.
* אם <math>\{A_n\}_{n=1}^\infty\subseteq X</math> הן קבוצת נקודות מקטגוריה ראשונה אז <math>\bigcup_{n=1}^\infty{A_n}</math> מקטגוריה ראשונה.

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

== הערות שוליים ==
{{הערות שוליים|יישור=שמאל}}

[[קטגוריה:טופולוגיה]]